Cho ∆ABD vuông tại A, có AB=8 cm,BD= 10cm .Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AD tại D cắt nhau ở C. a) Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao ? b)Kẻ AH ⊥ BD (H ∈ BD). Gọi M và N...

a) Tứ giác ABCD là hình vuông vì: - ∆ABD vuông tại A, AB = 8 cm, BD = 10 cm. - Áp dụng định lý Pythagoras: AD² = BD² - AB² = 10² - 8² = 100 - 64 = 36. - Vậy AD = 6 cm. - Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AD tại D cắt nhau ở C, tạo thành các góc vuông tại B và D. - Do đó, ABCD là hình vuông (vì có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau). b) Kẻ AH ⊥ BD (H ∈ BD). Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn DH và AH. Tia MN cắt AB tại I. Biết MD = 1,8 cm. Chứng minh MN // AD và tính độ dài đoạn thẳng AI? - Vì M là trung điểm của DH và N là trung điểm của AH, nên MN là đường trung bình của tam giác ADH. - Theo tính chất đường trung bình của tam giác, MN // AD và MN = $\frac{1}{2}$ AD. - Ta có AD = 6 cm, nên MN = $\frac{1}{2}$ × 6 = 3 cm. - Vì MN // AD và MN cắt AB tại I, nên AI = IB (do MN là đường trung bình của tam giác ADH). - Vì AB = 8 cm, nên AI = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4 cm. c) Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC? - Vì ABCD là hình vuông, nên AC = BD = 10 cm. - AM là đường trung tuyến của tam giác ADH, nên M là trung điểm của DH. - Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt BC tại K, ta cần chứng minh K là trung điểm của BC. - Xét tam giác AMC và tam giác BMC: - AM = MB (vì M là trung điểm của AB). - MC chung. - Góc AMC = góc BMC (vì ABCD là hình vuông, nên góc AMC và góc BMC đều là góc vuông). - Do đó, tam giác AMC và tam giác BMC bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). - Vậy K là trung điểm của BC (do tam giác AMC và tam giác BMC bằng nhau). Đáp số: a) Tứ giác ABCD là hình vuông. b) MN // AD, độ dài đoạn thẳng AI là 4 cm. c) K là trung điểm của BC.