tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện x mũ 2 + 2y mũ 2 + 2xy + y=2

Ta có: \(x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2\) Nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương: \[x^2 + 2xy + y^2 + y^2 + y = 2\] Nhận thấy rằng \(x^2 + 2xy + y^2\) là một bình phương hoàn chỉnh: \[(x + y)^2 + y^2 + y = 2\] Để dễ dàng hơn, ta đặt \(z = x + y\). Khi đó phương trình trở thành: \[z^2 + y^2 + y = 2\] Ta sẽ xét các trường hợp của \(y\) để tìm các giá trị nguyên của \(y\) sao cho \(z^2 + y^2 + y = 2\): 1. Nếu \(y = 0\): \[z^2 + 0^2 + 0 = 2 \Rightarrow z^2 = 2\] Điều này không có nghiệm nguyên vì \(z^2 = 2\) không có nghiệm nguyên. 2. Nếu \(y = 1\): \[z^2 + 1^2 + 1 = 2 \Rightarrow z^2 + 1 + 1 = 2 \Rightarrow z^2 + 2 = 2 \Rightarrow z^2 = 0 \Rightarrow z = 0\] Khi đó \(x + y = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) Vậy ta có cặp số nguyên \((-1, 1)\). 3. Nếu \(y = -1\): \[z^2 + (-1)^2 + (-1) = 2 \Rightarrow z^2 + 1 - 1 = 2 \Rightarrow z^2 = 2\] Điều này không có nghiệm nguyên vì \(z^2 = 2\) không có nghiệm nguyên. 4. Nếu \(y = 2\): \[z^2 + 2^2 + 2 = 2 \Rightarrow z^2 + 4 + 2 = 2 \Rightarrow z^2 + 6 = 2 \Rightarrow z^2 = -4\] Điều này không có nghiệm nguyên vì \(z^2 = -4\) không có nghiệm nguyên. 5. Nếu \(y = -2\): \[z^2 + (-2)^2 + (-2) = 2 \Rightarrow z^2 + 4 - 2 = 2 \Rightarrow z^2 + 2 = 2 \Rightarrow z^2 = 0 \Rightarrow z = 0\] Khi đó \(x + y = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) Vậy ta có cặp số nguyên \((2, -2)\). Từ các trường hợp trên, ta tìm được các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là: \((-1, 1)\) và \((2, -2)\). Đáp số: \((-1, 1)\) và \((2, -2)\).