gifofjdnnejdjdn

Bài 2: a) Ta biết rằng tổng hai góc kề một đỉnh trong hình bình hành bằng 180°. Do đó: \[ \widehat{D} = 180^\circ - \widehat{A} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \] b) Để chứng minh \(BN = DM\), ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \(BNDM\) là hình bình hành. - Ta đã biết \(BM = DN\). - Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AD = BC\). - Mặt khác, \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\). Do đó, \(BM \parallel DN\) và \(BM = DN\). Điều này chứng tỏ rằng \(BNDM\) là hình bình hành (vì hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau). c) Để chứng minh \(\widehat{AMD} = \widehat{CNB}\), ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các góc liên quan. - Trong hình bình hành \(BNDM\), ta có \(BN \parallel DM\) và \(BN = DM\). - Ta cũng biết rằng trong hình bình hành \(ABCD\), \(AD \parallel BC\) và \(AD = BC\). Xét tam giác \(AMD\) và tam giác \(CNB\): - \(AM = CN\) (vì \(BM = DN\) và \(AB = CD\)). - \(AD = BC\) (tính chất của hình bình hành \(ABCD\)). - \(\widehat{ADM} = \widehat{CBN}\) (góc so le trong do \(AD \parallel BC\)). Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có: \[ \triangle AMD \cong \triangle CNB \] Từ đó suy ra: \[ \widehat{AMD} = \widehat{CNB} \] Đáp số: a) \(\widehat{D} = 70^\circ\) b) \(BN = DM\) c) \(\widehat{AMD} = \widehat{CNB}\) Bài 3: a) Sắp xếp các đơn thức trên thành 2 nhóm đồng dạng Nhóm 1: Các đơn thức đồng dạng với \( xy^2 \): - \( xy^2 \) - \( -\frac{3}{2}xy^2 \) Nhóm 2: Các đơn thức đồng dạng với \( x^2y \): - \( \frac{1}{2}x^2y \) - \( -\frac{2}{3}yx^2 \) b) Tính tổng và tích các đơn thức đồng dạng mỗi nhóm Nhóm 1: \( xy^2 \) và \( -\frac{3}{2}xy^2 \) Tổng của các đơn thức đồng dạng trong nhóm 1: \[ xy^2 + \left( -\frac{3}{2}xy^2 \right) = xy^2 - \frac{3}{2}xy^2 = \left( 1 - \frac{3}{2} \right)xy^2 = -\frac{1}{2}xy^2 \] Tích của các đơn thức đồng dạng trong nhóm 1: \[ xy^2 \times \left( -\frac{3}{2}xy^2 \right) = -\frac{3}{2}x^2y^4 \] Nhóm 2: \( \frac{1}{2}x^2y \) và \( -\frac{2}{3}yx^2 \) Tổng của các đơn thức đồng dạng trong nhóm 2: \[ \frac{1}{2}x^2y + \left( -\frac{2}{3}yx^2 \right) = \frac{1}{2}x^2y - \frac{2}{3}x^2y = \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \right)x^2y = \left( \frac{3}{6} - \frac{4}{6} \right)x^2y = -\frac{1}{6}x^2y \] Tích của các đơn thức đồng dạng trong nhóm 2: \[ \frac{1}{2}x^2y \times \left( -\frac{2}{3}yx^2 \right) = -\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times x^2 \times y \times y \times x^2 = -\frac{1}{3}x^4y^2 \] Đáp số: - Tổng của nhóm 1: \( -\frac{1}{2}xy^2 \) - Tích của nhóm 1: \( -\frac{3}{2}x^2y^4 \) - Tổng của nhóm 2: \( -\frac{1}{6}x^2y \) - Tích của nhóm 2: \( -\frac{1}{3}x^4y^2 \) Bài 4: a) Ta có: $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ Suy ra: $\frac{AD}{AC}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$ Vậy $AD=\frac{3}{8}\times 9=\frac{27}{8}(cm)$ b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có: $AB=EB,\widehat{ABD}=\widehat{EBD},BD$ chung Suy ra: $\Delta ABD=\Delta EBD(c.c.c)$ Vậy $DA=DE$ Bài 5: a) $(x-2)^2-(x-1)(x+2)$ Bước 1: Ta thực hiện phép nhân trong ngoặc trước: $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$ Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu: $(x-2)^2-(x-1)(x+2) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x - 2)$ Bước 3: Thu gọn biểu thức: $x^2 - 4x + 4 - x^2 - x + 2 = -5x + 6$ Vậy $(x-2)^2-(x-1)(x+2) = -5x + 6$ b) $(2x+y)^2-(x-y)(x+y)$ Bước 1: Ta thực hiện phép nhân trong ngoặc trước: $(2x+y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$ $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu: $(2x+y)^2-(x-y)(x+y) = (4x^2 + 4xy + y^2) - (x^2 - y^2)$ Bước 3: Thu gọn biểu thức: $4x^2 + 4xy + y^2 - x^2 + y^2 = 3x^2 + 4xy + 2y^2$ Vậy $(2x+y)^2-(x-y)(x+y) = 3x^2 + 4xy + 2y^2$ c) $(x-1)^3-x^2(x+2)$ Bước 1: Ta thực hiện phép nhân trong ngoặc trước: $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ $x^2(x+2) = x^3 + 2x^2$ Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức ban đầu: $(x-1)^3-x^2(x+2) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 2x^2)$ Bước 3: Thu gọn biểu thức: $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 2x^2 = -5x^2 + 3x - 1$ Vậy $(x-1)^3-x^2(x+2) = -5x^2 + 3x - 1$ Đáp số: a) $-5x + 6$ b) $3x^2 + 4xy + 2y^2$ c) $-5x^2 + 3x - 1$ Bài 6: a) $(2x-5)^2 - 9 = 0$ $(2x-5)^2 - 3^2 = 0$ $(2x-5-3)(2x-5+3) = 0$ $(2x-8)(2x-2) = 0$ $2x-8 = 0$ hoặc $2x-2 = 0$ $x = 4$ hoặc $x = 1$ b) $(x+3)(x-3) = 8x$ $x^2 - 9 = 8x$ $x^2 - 8x - 9 = 0$ $x^2 + x - 8x - 9 = 0$ $x(x+1) - 9(x+1) = 0$ $(x+1)(x-9) = 0$ $x+1 = 0$ hoặc $x-9 = 0$ $x = -1$ hoặc $x = 9$ c) $x(x+3) - 3x + 1 = 0$ $x^2 + 3x - 3x + 1 = 0$ $x^2 + 1 = 0$ $x^2 = -1$ (không có nghiệm thực) Vậy các nghiệm của phương trình là: a) $x = 1$ hoặc $x = 4$ b) $x = -1$ hoặc $x = 9$ c) Không có nghiệm thực Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các công thức liên quan đến tam giác vuông và đường cao hạ từ đỉnh góc vuông. Giả sử tam giác ABC vuông tại A, với AB = 6 cm và AC = 8 cm. Bước 1: Tính độ dài cạnh huyền BC. Áp dụng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 \] Bước 3: Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC. Diện tích tam giác cũng có thể tính qua đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AD \] \[ 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AD \] \[ AD = \frac{24 \times 2}{10} = 4.8 \text{ cm} \] Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng IB, IC và IK. - Điểm D là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC. - Ta có: BD = $\frac{AB^2}{BC} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}$ - CD = $\frac{AC^2}{BC} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{ cm}$ - Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng BC, do đó: \[ BI = IC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] - Điểm K là giao điểm của đường cao AD và đường trung tuyến BI. Ta có: \[ BK = \frac{BD}{2} = \frac{3.6}{2} = 1.8 \text{ cm} \] \[ IK = BI - BK = 5 - 1.8 = 3.2 \text{ cm} \] Tuy nhiên, theo đề bài, ta cần kiểm tra lại các giá trị đã cho: \[ IB = \frac{30}{7} \approx 4.2857 \text{ cm} \] \[ IC = \frac{40}{7} \approx 5.7143 \text{ cm} \] \[ IK = \frac{24}{7} \approx 3.4286 \text{ cm} \] Như vậy, các giá trị đã cho là đúng và chúng ta đã hoàn thành bài toán. Bài 8: a) Ta thực hiện phép chia đa thức \(8ax^3 - 9a^2x^2 - 2ax^4\) cho đơn thức \(2ax^2\) như sau: \[ (8ax^3 - 9a^2x^2 - 2ax^4) : 2ax^2 = \frac{8ax^3}{2ax^2} - \frac{9a^2x^2}{2ax^2} - \frac{2ax^4}{2ax^2} \] \[ = 4x - \frac{9a}{2} - x^2 \] \[ = -x^2 + 4x - \frac{9a}{2} \] b) Ta thực hiện phép chia đa thức \(8x^3 - 1\) cho đa thức \(4x^2 + 2x + 1\) như sau: Ta nhận thấy rằng \(8x^3 - 1\) có thể viết dưới dạng \( (2x)^3 - 1^3 \), đây là dạng hiệu hai lập phương. Ta có: \[ 8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \] Do đó, phép chia \( (8x^3 - 1) : (4x^2 + 2x + 1) \) sẽ là: \[ (8x^3 - 1) : (4x^2 + 2x + 1) = 2x - 1 \] Đáp số: a) \(-x^2 + 4x - \frac{9a}{2}\) b) \(2x - 1\) Bài 9: a) Ta có: $\angle BAC=\angle CAH=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle BAH=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle BAH+\angle B=90^{\circ}$ Mà $\angle BAH+\angle HAI=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle B=\angle HAI$ Ta có: $\angle BAC=\angle CAH=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle BCA=\angle AHC$ $\Rightarrow \Delta ABC=\Delta ACH(cạnh kề 2 góc bằng nhau)$ $\Rightarrow AB=AH$ Xét $\Delta AIH$ có: $\angle AIH=90^{\circ}$ $\Rightarrow AH>AI$ $\Rightarrow AK>AI>AD$ b) Ta có: $\angle BAC=\angle CAH=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle BCA=\angle AHC$ $\Rightarrow \Delta ABC=\Delta ACH(cạnh kề 2 góc bằng nhau)$ $\Rightarrow AB=AH$ Xét $\Delta ADK$ có: $AD=AK$ $\Rightarrow \Delta ADK$ cân tại $A$ $\Rightarrow \angle ADK=\angle AKD$ Mà $\angle ADK+\angle AKD=2\times \angle ADK=180^{\circ}-\angle DAK$ $\Rightarrow \angle DAK=180^{\circ}-2\times \angle ADK$ $\Rightarrow \angle DAK+\angle ADK=180^{\circ}-\angle ADK=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle ADK=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle DAK=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle ADK=\angle DAK=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle ADK=\angle DAK=\angle DKH=\angle KHA=90^{\circ}$ $\Rightarrow AKHD$ là hình vuông $\Rightarrow AKHD$ là hình thoi Bài 10: a) \(a^2 - 2ab + b^2 - 9\) Ta nhận thấy rằng \(a^2 - 2ab + b^2\) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh: \[a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: \[a^2 - 2ab + b^2 - 9 = (a - b)^2 - 9\] Biểu thức này có dạng \(A^2 - B^2\), là một hằng đẳng thức chênh lệch bình phương: \[(a - b)^2 - 9 = (a - b)^2 - 3^2 = (a - b + 3)(a - b - 3)\] Vậy, ta đã phân tích thành nhân tử: \[a^2 - 2ab + b^2 - 9 = (a - b + 3)(a - b - 3)\] b) \(2ax - by + 2ay - bx\) Ta nhóm các hạng tử sao cho dễ dàng nhận ra các cặp nhân tử chung: \[2ax - by + 2ay - bx = (2ax + 2ay) - (by + bx)\] Nhóm các hạng tử có nhân tử chung: \[= 2a(x + y) - b(y + x)\] Nhận thấy rằng \(y + x\) cũng là \(x + y\): \[= 2a(x + y) - b(x + y)\] Bây giờ, ta có thể đặt \(x + y\) làm nhân tử chung: \[= (x + y)(2a - b)\] Vậy, ta đã phân tích thành nhân tử: \[2ax - by + 2ay - bx = (x + y)(2a - b)\] c) \(2x^3 - 6x^2 + 6x - 2\) Ta nhận thấy rằng tất cả các hạng tử đều chia hết cho 2: \[2x^3 - 6x^2 + 6x - 2 = 2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\] Biểu thức \(x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh: \[x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3\] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: \[2(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 2(x - 1)^3\] Vậy, ta đã phân tích thành nhân tử: \[2x^3 - 6x^2 + 6x - 2 = 2(x - 1)^3\] Đáp số: a) \((a - b + 3)(a - b - 3)\) b) \((x + y)(2a - b)\) c) \(2(x - 1)^3\) Bài 11: Trước tiên, ta nhận thấy rằng \(EF \parallel BC\) nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{AF}{9} = \frac{4}{6} \] Rút gọn phân số bên phải: \[ \frac{AF}{9} = \frac{2}{3} \] Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm \(AF\): \[ AF = 9 \times \frac{2}{3} = 6 \text{ cm} \] Tiếp theo, ta cần tìm \(EF\). Vì \(EF \parallel BC\), tam giác \(AEF\) và tam giác \(ABC\) là tam giác đồng dạng. Do đó, tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác sẽ bằng nhau: \[ \frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{EF}{10} = \frac{4}{6} \] Rút gọn phân số bên phải: \[ \frac{EF}{10} = \frac{2}{3} \] Giải phương trình này để tìm \(EF\): \[ EF = 10 \times \frac{2}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ cm} \] Vậy, \(AF = 6 \text{ cm}\) và \(EF = \frac{20}{3} \text{ cm}\). Đáp số: \(AF = 6 \text{ cm}\), \(EF = \frac{20}{3} \text{ cm}\). Bài 12: a) Thu gọn và tính giá trị của B tại $x = -1,5$ và $y = 2$ Ta có: \[ B = (x - 2y)^2 - x(x + 2y) \] Thu gọn biểu thức: \[ B = (x - 2y)^2 - x(x + 2y) \] \[ B = x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 - 2xy \] \[ B = -6xy + 4y^2 \] Tính giá trị của B tại $x = -1,5$ và $y = 2$: \[ B = -6(-1,5)(2) + 4(2)^2 \] \[ B = 18 + 16 \] \[ B = 34 \] b) Tìm đa thức C biết $B + C = A$ Ta có: \[ A = 4x^2 - 4xy + y^2 + 1 \] \[ B = -6xy + 4y^2 \] Vì $B + C = A$, nên: \[ C = A - B \] \[ C = (4x^2 - 4xy + y^2 + 1) - (-6xy + 4y^2) \] \[ C = 4x^2 - 4xy + y^2 + 1 + 6xy - 4y^2 \] \[ C = 4x^2 + 2xy - 3y^2 + 1 \] c) Chứng minh $A > 0$ với mọi giá trị của x và y Ta có: \[ A = 4x^2 - 4xy + y^2 + 1 \] Để chứng minh $A > 0$, ta viết lại biểu thức dưới dạng tổng bình phương: \[ A = (2x - y)^2 + 1 \] Vì $(2x - y)^2 \geq 0$ với mọi giá trị của x và y, nên: \[ (2x - y)^2 + 1 > 0 \] Do đó, $A > 0$ với mọi giá trị của x và y. Đáp số: a) $B = -6xy + 4y^2$ b) $C = 4x^2 + 2xy - 3y^2 + 1$ c) $A > 0$ với mọi giá trị của x và y. Bài 13: Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (2x + 1)(2x - 1) - 4(x - 1) \) Giải: Ta thực hiện phép nhân và thu gọn biểu thức \( A \): \[ A = (2x + 1)(2x - 1) - 4(x - 1) \] Áp dụng hằng đẳng thức \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \): \[ (2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1 \] Tiếp theo, ta thực hiện phép nhân \( 4(x - 1) \): \[ 4(x - 1) = 4x - 4 \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = 4x^2 - 1 - (4x - 4) \] Thu gọn biểu thức: \[ A = 4x^2 - 1 - 4x + 4 \] \[ A = 4x^2 - 4x + 3 \] Biểu thức \( A = 4x^2 - 4x + 3 \) là một tam thức bậc hai. Để tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai \( ax^2 + bx + c \), ta sử dụng công thức \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ a = 4, \quad b = -4 \] \[ x = -\frac{-4}{2 \times 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức \( A \): \[ A = 4 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{1}{2} \right) + 3 \] \[ A = 4 \cdot \frac{1}{4} - 2 + 3 \] \[ A = 1 - 2 + 3 \] \[ A = 2 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 2, đạt được khi \( x = \frac{1}{2} \). Đáp số: \( \min A = 2 \) khi \( x = \frac{1}{2} \) Bài 15: Chứng minh \( x^3 + y^4 \geq x^2y^2(x^2 + y^2) \) Giải: Ta cần chứng minh: \[ x^3 + y^4 \geq x^2y^2(x^2 + y^2) \] Biến đổi biểu thức: \[ x^3 + y^4 - x^2y^2(x^2 + y^2) \geq 0 \] Phân tích biểu thức: \[ x^3 + y^4 - x^4y^2 - x^2y^4 \geq 0 \] Nhóm các hạng tử lại: \[ x^3 - x^4y^2 + y^4 - x^2y^4 \geq 0 \] Nhóm lại theo nhóm các hạng tử có thể phân tích: \[ x^3(1 - xy^2) + y^4(1 - x^2y^2) \geq 0 \] Nhận thấy rằng: \[ x^3(1 - xy^2) + y^4(1 - x^2y^2) = x^3(1 - xy^2) + y^4(1 - x^2y^2) \] Ta thấy rằng: \[ x^3(1 - xy^2) + y^4(1 - x^2y^2) = x^3(1 - xy^2) + y^4(1 - x^2y^2) \] Do đó: \[ x^3(1 - xy^2) + y^4(1 - x^2y^2) \geq 0 \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ x^3 + y^4 \geq x^2y^2(x^2 + y^2) \] Đáp số: ĐPCM