Cho tứ giác ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ABD. a) DG cắt MN tại điểm 1. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN. b) Chứng minh...

a) Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AD. Tương tự, BK = $\frac{2}{3}$BD. Ta cũng có DK = $\frac{1}{2}$BD (vì K là trung điểm của BD). Do đó, BK = 2DK. Từ đây, ta có $\frac{BK}{DK} = 2$. Ta cũng có $\frac{AG}{GD} = 2$. Do đó, theo định lý Tales, ta có MN // AC. Từ đây, ta có $\frac{IM}{IA} = \frac{IN}{IC}$. Mặt khác, ta có $\frac{AM}{MD} = 1$. Do đó, ta có $\frac{IM}{IA} = 1$. Từ đây, ta có IM = IA. Tương tự, ta có IN = IC. Do đó, I là trung điểm của MN. b) Ta có $\frac{BK}{BD} = \frac{1}{2}$. Tương tự, ta có $\frac{AG}{AC} = \frac{1}{2}$. Do đó, theo định lý Tales, ta có KG // CD. Từ đây, ta có $\frac{IK}{ID} = \frac{IC}{ID}$. Mặt khác, ta có $\frac{IN}{ID} = 1$. Do đó, ta có $\frac{IK}{ID} = 1$. Từ đây, ta có IK = ID. Do đó, I, C, K thẳng hàng.