Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của lũy thừa và quy tắc cộng các số hạng trong dãy số. Bước 1: Xác định tổng của dãy số đã cho. \[ 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + ... + 2^{x+2021} \] Bước 2: Nhận thấy đây là một dãy số lũy thừa với công bội là 2. Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ 2^x (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{2021}) \] Bước 3: Sử dụng công thức tính tổng của dãy số lũy thừa: \[ 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{2021} = 2^{2022} - 1 \] Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 2^x (2^{2022} - 1) = 2^{2026} - 16 \] Bước 5: Chia cả hai vế cho \(2^{2022} - 1\): \[ 2^x = \frac{2^{2026} - 16}{2^{2022} - 1} \] Bước 6: Rút gọn phân số: \[ 2^x = \frac{2^{2026} - 2^4}{2^{2022} - 1} \] \[ 2^x = \frac{2^{2022} \cdot 2^4 - 2^4}{2^{2022} - 1} \] \[ 2^x = \frac{2^4 (2^{2022} - 1)}{2^{2022} - 1} \] \[ 2^x = 2^4 \] Bước 7: Kết luận: \[ x = 4 \] Đáp số: \( x = 4 \) Câu 2 Để tìm \( x \) trong phương trình \( 5^x + 5^{x+2} = 650 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng \( 5^{x+2} \) có thể viết lại dưới dạng \( 5^x \times 5^2 \): \[ 5^{x+2} = 5^x \times 25 \] Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu: \[ 5^x + 5^x \times 25 = 650 \] Bước 3: Ta có thể nhóm \( 5^x \) ra ngoài: \[ 5^x (1 + 25) = 650 \] \[ 5^x \times 26 = 650 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 26 để tìm \( 5^x \): \[ 5^x = \frac{650}{26} \] \[ 5^x = 25 \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng \( 25 = 5^2 \), do đó: \[ 5^x = 5^2 \] Bước 6: Từ đây, ta suy ra: \[ x = 2 \] Vậy, giá trị của \( x \) là 2. Đáp số: \( x = 2 \) Câu 3 Để tìm \( x \) trong phương trình \( 3^{x+2} - 3^{x+1} - 3^x = 135 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại phương trình dưới dạng: \[ 3^{x+2} - 3^{x+1} - 3^x = 135 \] Bước 2: Ta nhận thấy rằng \( 3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x \) và \( 3^{x+1} = 3^x \cdot 3 \). Thay vào phương trình, ta có: \[ 9 \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x - 3^x = 135 \] Bước 3: Ta nhóm các hạng tử có \( 3^x \): \[ (9 - 3 - 1) \cdot 3^x = 135 \] \[ 5 \cdot 3^x = 135 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho 5: \[ 3^x = \frac{135}{5} \] \[ 3^x = 27 \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng \( 27 = 3^3 \), do đó: \[ 3^x = 3^3 \] Bước 6: Từ đây, ta suy ra: \[ x = 3 \] Vậy, giá trị của \( x \) là \( 3 \). Đáp số: \( x = 3 \) Câu 4: Để tìm \( x \) trong phương trình \( |x-7| + 2x + 5 = 6 \), chúng ta sẽ xét hai trường hợp dựa vào giá trị tuyệt đối \( |x-7| \). Trường hợp 1: \( x - 7 \geq 0 \) Trong trường hợp này, \( |x-7| = x-7 \). Phương trình trở thành: \[ x - 7 + 2x + 5 = 6 \] \[ 3x - 2 = 6 \] \[ 3x = 8 \] \[ x = \frac{8}{3} \] Kiểm tra điều kiện \( x - 7 \geq 0 \): \[ \frac{8}{3} - 7 = \frac{8}{3} - \frac{21}{3} = -\frac{13}{3} < 0 \] Do đó, \( x = \frac{8}{3} \) không thỏa mãn điều kiện \( x - 7 \geq 0 \). Vậy trường hợp này bị loại. Trường hợp 2: \( x - 7 < 0 \) Trong trường hợp này, \( |x-7| = -(x-7) = -x + 7 \). Phương trình trở thành: \[ -x + 7 + 2x + 5 = 6 \] \[ x + 12 = 6 \] \[ x = 6 - 12 \] \[ x = -6 \] Kiểm tra điều kiện \( x - 7 < 0 \): \[ -6 - 7 = -13 < 0 \] Do đó, \( x = -6 \) thỏa mãn điều kiện \( x - 7 < 0 \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -6 \). Đáp số: \( x = -6 \). Câu 5 Để tìm \( x \) trong bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Giải phương trình \( (3 - |x - \frac{1}{2}|) (\frac{8}{15} - \frac{1}{5}) + \frac{2}{3} = 1 \) Bước 2: Tính \( \frac{8}{15} - \frac{1}{5} \): \[ \frac{8}{15} - \frac{1}{5} = \frac{8}{15} - \frac{3}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Thay kết quả vào phương trình: \[ (3 - |x - \frac{1}{2}|) \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \] Bước 4: Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[ 3 \left( (3 - |x - \frac{1}{2}|) \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right) = 3 \cdot 1 \] \[ 3 - |x - \frac{1}{2}| + 2 = 3 \] Bước 5: Kết hợp các số hạng: \[ 5 - |x - \frac{1}{2}| = 3 \] Bước 6: Chuyển 5 sang vế phải: \[ - |x - \frac{1}{2}| = 3 - 5 \] \[ - |x - \frac{1}{2}| = -2 \] Bước 7: Nhân cả hai vế với -1: \[ |x - \frac{1}{2}| = 2 \] Bước 8: Xét hai trường hợp của trị tuyệt đối: - Trường hợp 1: \( x - \frac{1}{2} = 2 \) \[ x = 2 + \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} \] \[ x = \frac{5}{2} \] - Trường hợp 2: \( x - \frac{1}{2} = -2 \) \[ x = -2 + \frac{1}{2} \] \[ x = -\frac{4}{2} + \frac{1}{2} \] \[ x = -\frac{3}{2} \] Vậy, các giá trị của \( x \) là \( \frac{5}{2} \) và \( -\frac{3}{2} \). Đáp số: \( x = \frac{5}{2} \) hoặc \( x = -\frac{3}{2} \)