Bài 2: Một số tự nhiên n là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng n không thể có đúng 17 ước số

Bài 2: Giả sử \( n \) có đúng 17 ước số. Ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn. Bước 1: Xác định dạng của \( n \) - Số tự nhiên \( n \) có đúng 17 ước số thì \( n \) phải có dạng \( p^{16} \), trong đó \( p \) là số nguyên tố. Điều này là do 17 là số nguyên tố, và số ước của một số \( a^k \) là \( k+1 \). Bước 2: Xét tính chất của \( n \) - \( n \) là tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp. Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là \( a-1 \), \( a \), và \( a+1 \). Ta có: \[ n = (a-1)^2 + a^2 + (a+1)^2 \] Bước 3: Tính tổng bình phương - Ta tính tổng bình phương của 3 số tự nhiên liên tiếp: \[ n = (a-1)^2 + a^2 + (a+1)^2 \] \[ n = (a^2 - 2a + 1) + a^2 + (a^2 + 2a + 1) \] \[ n = a^2 - 2a + 1 + a^2 + a^2 + 2a + 1 \] \[ n = 3a^2 + 2 \] Bước 4: Kiểm tra tính chia hết - Ta thấy \( n = 3a^2 + 2 \). Số này không thể chia hết cho 3 vì \( 3a^2 \) chia hết cho 3 nhưng 2 không chia hết cho 3. Bước 5: Kiểm tra mâu thuẫn - Nếu \( n \) có dạng \( p^{16} \), thì \( n \) phải chia hết cho 3 (vì \( p \) là số nguyên tố và \( p^{16} \) sẽ chia hết cho 3 nếu \( p \) là 3). Nhưng ta đã chứng minh \( n = 3a^2 + 2 \) không chia hết cho 3, dẫn đến mâu thuẫn. Kết luận: Do mâu thuẫn này, \( n \) không thể có đúng 17 ước số.