Tại sao lại lấy 4 < x < 8 ạ? Tại sao lại là chọn số 8 ạ?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - \( x > 4 \) để đảm bảo các căn thức có nghĩa. 2. Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x(\sqrt{x + 4\sqrt{x-4}} + \sqrt{x - 4\sqrt{x-4}})}{\sqrt{x^2 - 8x + 16}} \] Ta nhận thấy: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{x^2 - 8x + 16} = |x - 4| \] Vì \( x > 4 \), nên \( |x - 4| = x - 4 \). Tiếp theo, ta xét các căn thức ở tử số: \[ x + 4\sqrt{x-4} = (\sqrt{x-4} + 2)^2 \] \[ x - 4\sqrt{x-4} = (\sqrt{x-4} - 2)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{x + 4\sqrt{x-4}} = |\sqrt{x-4} + 2| \] \[ \sqrt{x - 4\sqrt{x-4}} = |\sqrt{x-4} - 2| \] Kết hợp lại, ta có: \[ A = \frac{x(|\sqrt{x-4} + 2| + |\sqrt{x-4} - 2|)}{x - 4} \] 3. Xét các trường hợp: - Trường hợp 1: \( 4 < x < 8 \) \[ \sqrt{x-4} < 2 \Rightarrow \sqrt{x-4} - 2 < 0 \] Do đó: \[ |\sqrt{x-4} - 2| = 2 - \sqrt{x-4} \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x(\sqrt{x-4} + 2 + 2 - \sqrt{x-4})}{x - 4} = \frac{4x}{x - 4} = 4 + \frac{16}{x - 4} \] Vì \( 4 < x < 8 \), nên \( 0 < x - 4 < 4 \). Do đó: \[ \frac{16}{x - 4} > 4 \Rightarrow A > 8 \] - Trường hợp 2: \( x \geq 8 \) \[ \sqrt{x-4} \geq 2 \Rightarrow \sqrt{x-4} - 2 \geq 0 \] Do đó: \[ |\sqrt{x-4} - 2| = \sqrt{x-4} - 2 \] Thay vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x(\sqrt{x-4} + 2 + \sqrt{x-4} - 2)}{x - 4} = \frac{2x\sqrt{x-4}}{x - 4} = \frac{2x}{\sqrt{x-4}} \] Ta có: \[ A = 2\sqrt{x-4} + \frac{8}{\sqrt{x-4}} \] Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: \[ 2\sqrt{x-4} + \frac{8}{\sqrt{x-4}} \geq 2\sqrt{16} = 8 \] Dấu bằng xảy ra khi: \[ 2\sqrt{x-4} = \frac{8}{\sqrt{x-4}} \Rightarrow x - 4 = 4 \Rightarrow x = 8 \] 4. Kết luận: - Trong khoảng \( 4 < x < 8 \), \( A > 8 \). - Trong khoảng \( x \geq 8 \), \( A \geq 8 \) và đạt giá trị nhỏ nhất \( A = 8 \) khi \( x = 8 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 8, đạt được khi \( x = 8 \).