Giải thích bài này $b)\left\{\begin{array}l\frac1x+\frac1y+\frac1z=2~(1)\\frac2{xy}-\frac1{z^2}=4~(2)\end{array} ight.$,$ĐK:~x;y;z
e0$,$Từ~(1)\Rightarrow\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+\frac2{xy}+\frac2{xz}+\frac2{yz}=4$,Thế vào (2), ta được:,$\frac1{xy}-\frac1{z^2}=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+\frac2{xy}+\frac2{xz}+\frac2{yz}$,$\Leftrightarrow\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac2{z^2}+\frac2{xz}+\frac2{yz}=0$,$\Leftrightarrow(\frac1{x^2}+\frac2{xz}+\frac1{z^2})+(\frac1{v^2}+\frac2{vz}+\frac1{z^2})=0$,$\Leftrightarrow(\frac1x+\frac1z)^2+(\frac1y+\frac1z)^2=0$,$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}l\frac1x+\frac1y=0\\frac1x+\frac1z=0\end{array} ight.\Leftrightarrow x=y=-z$,Thay vào hệ (I), ta được: $(x;y;z)=(\frac12;\frac12;-\frac12)~(TM)$

Question

Giải thích bài này $b)\left\{\begin{array}l\frac1x+\frac1y+\frac1z=2~(1)\\frac2{xy}-\frac1{z^2}=4~(2)\end{array}ight.$,$ĐK:~x;y;z
e0$,$Từ~(1)\Rightarrow\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+\frac2{xy}+\frac2{xz}+\frac2{yz}=4$,Thế vào (2), ta được:,$\frac1{xy}-\frac1{z^2}=\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac1{z^2}+\frac2{xy}+\frac2{xz}+\frac2{yz}$,$\Leftrightarrow\frac1{x^2}+\frac1{y^2}+\frac2{z^2}+\frac2{xz}+\frac2{yz}=0$,$\Leftrightarrow(\frac1{x^2}+\frac2{xz}+\frac1{z^2})+(\frac1{v^2}+\frac2{vz}+\frac1{z^2})=0$,$\Leftrightarrow(\frac1x+\frac1z)^2+(\frac1y+\frac1z)^2=0$,$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}l\frac1x+\frac1y=0\\frac1x+\frac1z=0\end{array}ight.\Leftrightarrow x=y=-z$,Thay vào hệ (I), ta được: $(x;y;z)=(\frac12;\frac12;-\frac12)~(TM)$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết và rõ ràng.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Điều kiện xác định: $ x, y, z \neq 0 $

Bước 2: Từ phương trình (1), ta có:
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2 $$

Bước 3: Nhân cả hai vế của phương trình này với chính nó để tạo ra một biểu thức mới:
$$ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 = 2^2 $$
$$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} \right) = 4 $$

Bước 4: Thay phương trình (2) vào biểu thức trên:
$$ \frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} = 4 $$

Bước 5: Kết hợp các biểu thức đã có:
$$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} \right) = 4 $$
$$ \frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} = 4 $$

Bước 6: Thay $\frac{2}{xy}$ từ phương trình (2) vào:
$$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} \right) = 4 $$
$$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} \right) = \frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} + 4 $$

Bước 7: Đơn giản hóa biểu thức:
$$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} \right) = \frac{2}{xy} - \frac{1}{z^2} + 4 $$
$$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{2}{z^2} + 2 \left( \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} \right) = 0 $$

Bước 8: Nhóm các hạng tử lại:
$$ \left( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{xz} + \frac{1}{z^2} \right) + \left( \frac{1}{y^2} + \frac{2}{yz} + \frac{1}{z^2} \right) = 0 $$
$$ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{z} \right)^2 + \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)^2 = 0 $$

Bước 9: Vì tổng của hai bình phương bằng 0, nên mỗi bình phương phải bằng 0:
$$ \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 0 $$
$$ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 $$

Bước 10: Giải các phương trình này:
$$ \frac{1}{x} = -\frac{1}{z} \Rightarrow x = -z $$
$$ \frac{1}{y} = -\frac{1}{z} \Rightarrow y = -z $$

Bước 11: Thay $ x = -z $ và $ y = -z $ vào phương trình ban đầu:
$$ \frac{1}{-z} + \frac{1}{-z} + \frac{1}{z} = 2 $$
$$ -\frac{1}{z} - \frac{1}{z} + \frac{1}{z} = 2 $$
$$ -\frac{1}{z} = 2 $$
$$ z = -\frac{1}{2} $$

Bước 12: Tìm $ x $ và $ y $:
$$ x = -z = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} $$
$$ y = -z = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$ (x, y, z) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) $$