Giải thích bài này, tại sao lại là nhỏ hơn hoặc bằng 1/2( x bình + x -1 ) a) Giải phương trình : $x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$,$ĐK:~x=0$ hoặc $x\geq1$,Với $x=0$ thỏa mãn phương trình,Với $x\geq1.$ Ta có : $\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}\leq\frac12(x^2+x-1)$,$\sqrt{x^2-x}=\sqrt{1(x^2-x)}\leq\frac12(x^2-x+1)$,$\Rightarrow\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}\leq x^2$,$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}lx^2=x-1\x^2-x=1\end{array} ight.$,Dấu $``=``$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}lx^2=x+1\x^2=x-1\end{array} ight.\Rightarrow x+1=x-1$ vô lý,Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=0$

Question

Giải thích bài này, tại sao lại là nhỏ hơn hoặc bằng 1/2( x bình + x -1 )  a) Giải phương trình : $x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$,$ĐK:~x=0$ hoặc $x\geq1$,Với $x=0$ thỏa mãn phương trình,Với $x\geq1.$ Ta có : $\sqrt{x^3-x^2}=\sqrt{x^2(x-1)}\leq\frac12(x^2+x-1)$,$\sqrt{x^2-x}=\sqrt{1(x^2-x)}\leq\frac12(x^2-x+1)$,$\Rightarrow\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}\leq x^2$,$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}lx^2=x-1\x^2-x=1\end{array}ight.$,Dấu $``=``$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}lx^2=x+1\x^2=x-1\end{array}ight.\Rightarrow x+1=x-1$ vô lý,Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=0$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết và cẩn thận.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định
Phương trình ban đầu là:
$$ x^2 = \sqrt{x^3 - x^2} + \sqrt{x^2 - x} $$

Điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- $ x^3 - x^2 \geq 0 $
- $ x^2 - x \geq 0 $

Từ $ x^3 - x^2 \geq 0 $, ta có:
$$ x^2(x - 1) \geq 0 $$
$$ x = 0 \text{ hoặc } x \geq 1 $$

Từ $ x^2 - x \geq 0 $, ta có:
$$ x(x - 1) \geq 0 $$
$$ x = 0 \text{ hoặc } x \geq 1 $$

Vậy ĐKXĐ là:
$$ x = 0 \text{ hoặc } x \geq 1 $$

Bước 2: Kiểm tra trường hợp $ x = 0 $
Thay $ x = 0 $ vào phương trình:
$$ 0^2 = \sqrt{0^3 - 0^2} + \sqrt{0^2 - 0} $$
$$ 0 = 0 + 0 $$
Phương trình đúng, nên $ x = 0 $ là nghiệm của phương trình.

Bước 3: Xét trường hợp $ x \geq 1 $
Ta cần chứng minh rằng:
$$ \sqrt{x^3 - x^2} + \sqrt{x^2 - x} \leq x^2 $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ \sqrt{x^3 - x^2} = \sqrt{x^2(x - 1)} \leq \frac{1}{2}(x^2 + x - 1) $$
$$ \sqrt{x^2 - x} = \sqrt{1(x^2 - x)} \leq \frac{1}{2}(x^2 - x + 1) $$

Cộng hai bất đẳng thức trên:
$$ \sqrt{x^3 - x^2} + \sqrt{x^2 - x} \leq \frac{1}{2}(x^2 + x - 1) + \frac{1}{2}(x^2 - x + 1) $$
$$ \sqrt{x^3 - x^2} + \sqrt{x^2 - x} \leq \frac{1}{2}(x^2 + x - 1 + x^2 - x + 1) $$
$$ \sqrt{x^3 - x^2} + \sqrt{x^2 - x} \leq \frac{1}{2}(2x^2) $$
$$ \sqrt{x^3 - x^2} + \sqrt{x^2 - x} \leq x^2 $$

Dấu bằng xảy ra khi:
$$ x^2 = x + 1 \text{ và } x^2 = x - 1 $$

Nhưng $ x^2 = x + 1 $ và $ x^2 = x - 1 $ là vô lý, vì không tồn tại $ x $ thỏa mãn cả hai điều kiện này cùng lúc.

Kết luận:
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $ x = 0 $.

Đáp số: $ x = 0 $