Tại sao lại lớn hơn hoặc bằng 8?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Điều kiện xác định: \( x \geq 4 \) (vì căn bậc hai yêu cầu biểu thức dưới căn phải không âm). 2. Rút gọn biểu thức: - Ta có: \[ A = \frac{x(\sqrt{x-4} + 2 + \sqrt{x-4} - 2)}{x-4} \] - Rút gọn biểu thức trong ngoặc: \[ A = \frac{x(2\sqrt{x-4})}{x-4} \] - Tiếp tục rút gọn: \[ A = \frac{2x\sqrt{x-4}}{x-4} \] - Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt{x-4}\): \[ A = \frac{2x}{\sqrt{x-4}} \] 3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: - Ta viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng: \[ A = 2\sqrt{x-4} + \frac{8}{\sqrt{x-4}} \] - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai số dương \( a \) và \( b \): \[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \] - Ở đây, ta chọn \( a = 2\sqrt{x-4} \) và \( b = \frac{8}{\sqrt{x-4}} \): \[ 2\sqrt{x-4} + \frac{8}{\sqrt{x-4}} \geq 2\sqrt{(2\sqrt{x-4}) \cdot \left(\frac{8}{\sqrt{x-4}}\right)} \] - Tính giá trị bên trong căn bậc hai: \[ 2\sqrt{(2\sqrt{x-4}) \cdot \left(\frac{8}{\sqrt{x-4}}\right)} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8 \] - Vậy: \[ 2\sqrt{x-4} + \frac{8}{\sqrt{x-4}} \geq 8 \] 4. Kết luận: - Biểu thức \( A \) luôn lớn hơn hoặc bằng 8: \[ A \geq 8 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 8, đạt được khi \( x = 8 \).