nhanhhhhhhhhhhh Câu 1/. (2,0 điem),Cho hình chữ nhật ABCD có $AB=4,AD=6.$ Gọi I là trung điểm CD .,a) Chứng minh $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}.$,b) Gọi K là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow0.$ Tính độ dài véctơ $\overrightarrow{BK}.$,c) Gọi M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức,$T=|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}|+2|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|.$

Question

Accepted Answer

a) Ta có:
$$
\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}
$$
Vì I là trung điểm của CD nên:
$$
\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC}
$$
Mà $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, do đó:
$$
\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
$$
Nhân cả hai vế với 2 ta được:
$$
2\overrightarrow{AI} = 2\left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right) = 2\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}
$$
Vậy:
$$
\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AI}
$$

b) Ta có:
$$
\overrightarrow{KA} - \overrightarrow{KB} - \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0}
$$
Diễn đạt lại theo quy tắc trừ vectơ:
$$
\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC}
$$
Diễn đạt lại theo quy tắc cộng vectơ:
$$
\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC}
$$
Ta thấy K là trọng tâm của tam giác ABC. Độ dài $\overrightarrow{BK}$ sẽ là:
$$
\overrightarrow{BK} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}
$$
Vì $BC = AD = 6$, nên:
$$
|\overrightarrow{BK}| = \frac{2}{3} \times 6 = 4
$$

c) Ta có:
$$
T = |\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| + 2|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|
$$
Diễn đạt lại theo quy tắc cộng và trừ vectơ:
$$
\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MC} + (\overrightarrow{MD} - \overrightarrow{MC}) + \overrightarrow{MC} = 2\overrightarrow{MI}
$$
với I là trung điểm của CD. Do đó:
$$
|\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = 2|\overrightarrow{MI}|
$$
Cũng có:
$$
\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{MC} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MC}
$$
Do đó:
$$
2|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}| = 2|-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{MC}| = 2|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MC}|
$$
Vậy:
$$
T = 2|\overrightarrow{MI}| + 2|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MC}|
$$
Để T nhỏ nhất thì M phải nằm trên đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB. Khi đó:
$$
|\overrightarrow{MI}| = 0 \quad \text{và} \quad |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{MC}| = |\overrightarrow{AB}| = 4
$$
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là:
$$
T_{min} = 2 \times 0 + 2 \times 4 = 8
$$

Đáp số:
a) Chứng minh $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AI}$
b) $|\overrightarrow{BK}| = 4$
c) $T_{min} = 8$