Giúp em với ạ

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = e^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân. - Hàm số là \( y = e^x \). - Khoảng tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Bước 2: Viết công thức tính diện tích. Diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), và \( x = b \) là: \[ S = \int_a^b f(x) \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = e^x \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). Do đó: \[ S = \int_0^2 e^x \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. \[ \int_0^2 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \] Vậy diện tích \( S \) là: \[ S = e^2 - 1 \] Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề đã cho. A. \( S = \pi \int_0^2 e^x \, dx \) B. \( S = \int_0^2 e^x \, dx \) C. \( S = \pi \int_0^2 e^{2x} \, dx \) D. \( S = \int_0^2 e^{2x} \, dx \) Mệnh đề đúng là: B. \( S = \int_0^2 e^x \, dx \) Đáp án: B. \( S = \int_0^2 e^x \, dx \) Câu 2: Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định diện tích S của một hình tròn được tạo ra bởi việc quay một đường cong quanh trục x từ x = 0 đến x = 2. Chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định đáp án đúng. Để tính diện tích S của một hình tròn được tạo ra bởi việc quay một đường cong quanh trục x, chúng ta sử dụng công thức: \[ S = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, đường cong là \( y = e^x \). Do đó, diện tích S sẽ là: \[ S = \pi \int_{0}^{2} (e^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. \( S = \int_{0}^{2} e' \, dx \) - Đáp án này không đúng vì nó không bao gồm \( \pi \) và \( e^{2x} \). B. \( S = \pi \int_{0}^{2} e' \, dx \) - Đáp án này cũng không đúng vì nó không bao gồm \( e^{2x} \). C. \( S = \pi \int_{0}^{2} e' \, dx \) - Đáp án này cũng không đúng vì nó không bao gồm \( e^{2x} \). D. \( S = \pi \int e^{2x} \, dx \) - Đáp án này gần đúng nhưng thiếu cận trên và cận dưới của tích phân. Đáp án đúng phải là \( S = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \). Do đó, đáp án đúng là: \[ S = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \] Đáp án: D. \( S = \pi \int e^{2x} \, dx \) Tuy nhiên, để chính xác hơn, chúng ta nên viết đầy đủ cận trên và cận dưới của tích phân: \[ S = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \] Câu 3: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=e^{22x},$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-\frac12,~x=0$ là: $S=\int_{-\frac12}^0 e^{22x}\,dx=\left.\frac{e^{22x}}{22}\right|_{-\frac12}^0=\frac{1-e^{-11}}{22}.$ b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=-\frac52x^3-\frac1{x^2},$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-3,~x=-2$ là: $S=\int_{-3}^{-2} \left(-\frac52x^3-\frac1{x^2}\right)\,dx=\left.-\frac58x^4+\frac1x\right|_{-3}^{-2}=\frac{191}{72}.$ Câu 4: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x \), trục hoành, \( x = 0 \), và \( x = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền tích phân: - Hình phẳng giới hạn bởi \( y = x \), trục hoành, \( x = 0 \), và \( x = 1 \). 2. Tính diện tích \( S_1 \): - Diện tích \( S_1 \) là diện tích dưới đường thẳng \( y = x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). - Ta có: \[ S_1 = \int_{0}^{1} x \, dx \] - Tính tích phân: \[ S_1 = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] 3. Xác định miền tích phân: - Hình phẳng giới hạn bởi \( y = (x-1)^2 \), trục hoành, \( x = 1 \), và \( x = 2 \). 4. Tính diện tích \( S_2 \): - Diện tích \( S_2 \) là diện tích dưới đường parabol \( y = (x-1)^2 \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \). - Ta có: \[ S_2 = \int_{1}^{2} (x-1)^2 \, dx \] - Tính tích phân: \[ S_2 = \int_{1}^{2} (x-1)^2 \, dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{(2-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{1}{3} \] 5. Kiểm tra đáp án: - Đáp án a) \( S_1 = \int_{1}^{2} |x| \, dx \) là sai vì \( S_1 \) được tính từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). - Đáp án b) \( S_2 = -\int_{1}^{2} (x-2)^2 \, dx \) là sai vì \( S_2 \) được tính từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \) và tích phân không âm. Vậy đáp án đúng là: \[ S_1 = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad S_2 = \frac{1}{3} \] Đáp số: \( S_1 = \frac{1}{2} \) và \( S_2 = \frac{1}{3} \).