Đây là đề: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn:
f(2022) = 2023 và f(2023) = 2024.
Chứng minh rằng f(2024) – f(2021) là hợp số.
Giải thích cách giải trong hình. Đặt $g(x)=f(x)+ax+b.$ Tìm a, b để $g(2022)=g(2023)=0$ tương đương với a.,b là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}l0=2023+2022.a+b\0=2024+2023.a+b\end{array} ight.$,Giải hệ ta được: $a=b=-1.$ Nên đặt $g(x)=f(x)-x-1$,Giả sử k nguyên dương là hệ số của $x^3$ của đa thức $f(x).$,Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho $(x-2022);(x$,- 2023) nên:,$g(x)=k(x-2022)(x-2023)(x-x_0);f(x)=g(x)-(-x-1)$,$\Rightarrow f(x)=k(x-2022)(x-2023)(x-x_0)+x+1$,Ta có $f(2024)=k.2.1.(2024-x_0)+2025$,$=2k.2024-2k.x_0+2025$,$f(2021)=k.~(-1).(-2).(2021-x_0)+2022$,$=2k.2021-2k.x_0+2022$,$\Rightarrow f(2024)-f(2021)=6k+3$,Tính được $f(2024)-f(2021)=3(2k+1)$,Vì $2k+1\geq3$ với k nguyên dương nên $3(2k+1)$ là hợp số.,Vậy $f(2024)-f(2021)$ là hợp số.

Question

Đây là đề: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn: 
 f(2022) = 2023 và f(2023) = 2024. 
Chứng minh rằng f(2024) – f(2021) là hợp số.
Giải thích cách giải trong hình. Đặt $g(x)=f(x)+ax+b.$ Tìm a, b để $g(2022)=g(2023)=0$ tương đương với a.,b là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}l0=2023+2022.a+b\0=2024+2023.a+b\end{array}ight.$,Giải hệ ta được: $a=b=-1.$ Nên đặt $g(x)=f(x)-x-1$,Giả sử k nguyên dương là hệ số của $x^3$ của đa thức $f(x).$,Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho $(x-2022);(x$,- 2023) nên:,$g(x)=k(x-2022)(x-2023)(x-x_0);f(x)=g(x)-(-x-1)$,$\Rightarrow f(x)=k(x-2022)(x-2023)(x-x_0)+x+1$,Ta có $f(2024)=k.2.1.(2024-x_0)+2025$,$=2k.2024-2k.x_0+2025$,$f(2021)=k.~(-1).(-2).(2021-x_0)+2022$,$=2k.2021-2k.x_0+2022$,$\Rightarrow f(2024)-f(2021)=6k+3$,Tính được $f(2024)-f(2021)=3(2k+1)$,Vì $2k+1\geq3$ với k nguyên dương nên $3(2k+1)$ là hợp số.,Vậy $f(2024)-f(2021)$ là hợp số.

Accepted Answer

1. Xác định $ g(x) $:
Ta đặt $ g(x) = f(x) - x - 1 $. Điều này giúp ta dễ dàng làm việc với các giá trị đã biết của $ f(x) $.

2. Tìm $ g(2022) $ và $ g(2023) $:
- $ f(2022) = 2023 $ nên $ g(2022) = f(2022) - 2022 - 1 = 2023 - 2022 - 1 = 0 $.
- $ f(2023) = 2024 $ nên $ g(2023) = f(2023) - 2023 - 1 = 2024 - 2023 - 1 = 0 $.

3. Xác định dạng của $ g(x) $:
Vì $ g(x) $ là đa thức bậc 3 và $ g(2022) = g(2023) = 0 $, ta có thể viết:
$$
g(x) = k(x - 2022)(x - 2023)(x - x_0)
$$
Trong đó $ k $ là hệ số của $ x^3 $ và $ x_0 $ là nghiệm còn lại của $ g(x) $.

4. Xác định $ f(x) $:
Do $ g(x) = f(x) - x - 1 $, ta có:
$$
f(x) = g(x) + x + 1 = k(x - 2022)(x - 2023)(x - x_0) + x + 1
$$

5. Tính $ f(2024) $ và $ f(2021) $:
- $ f(2024) = k(2024 - 2022)(2024 - 2023)(2024 - x_0) + 2024 + 1 = k \cdot 2 \cdot 1 \cdot (2024 - x_0) + 2025 = 2k(2024 - x_0) + 2025 $.
- $ f(2021) = k(2021 - 2022)(2021 - 2023)(2021 - x_0) + 2021 + 1 = k \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot (2021 - x_0) + 2022 = 2k(2021 - x_0) + 2022 $.

Đây là đề: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn: f(2022) = 2023 và f(2023) = 2024. Chứng minh rằng f(2024) – f(2021) là hợp số. Giải thích cách giải trong hình.