mình mới học vi phân trong nguyên hàm nên không rành ạ cho mình hỏi bài này giải bằng vi phân như này đúng chưa nếu sai mọi người giải giúp mình lại chi tiết với

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vi phân và nguyên hàm. Cụ thể, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức cần tính nguyên hàm: \[ \int \cos 2x \sin x \, dx \] Bước 2: Áp dụng công thức biến đổi góc kép cho $\cos 2x$: \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] Do đó, ta có: \[ \int (\cos^2 x - \sin^2 x) \sin x \, dx \] Bước 3: Tách biểu thức thành hai phần: \[ \int \cos^2 x \sin x \, dx - \int \sin^3 x \, dx \] Bước 4: Xét từng phần riêng lẻ: - Đối với $\int \cos^2 x \sin x \, dx$, ta đặt $u = \cos x$. Do đó, $du = -\sin x \, dx$ hoặc $-\sin x \, dx = du$. \[ \int \cos^2 x \sin x \, dx = -\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C_1 = -\frac{\cos^3 x}{3} + C_1 \] - Đối với $\int \sin^3 x \, dx$, ta viết lại $\sin^3 x$ dưới dạng $\sin x \cdot \sin^2 x$: \[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx \] Ta đặt $v = \cos x$. Do đó, $dv = -\sin x \, dx$ hoặc $-\sin x \, dx = dv$. \[ \int \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx = -\int (1 - v^2) \, dv = -\left(v - \frac{v^3}{3}\right) + C_2 = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C_2 \] Bước 5: Kết hợp kết quả từ hai phần trên: \[ \int \cos 2x \sin x \, dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C_1 - \left(-\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C_2\right) \] \[ = -\frac{\cos^3 x}{3} + C_1 + \cos x - \frac{\cos^3 x}{3} - C_2 \] \[ = -\frac{2\cos^3 x}{3} + \cos x + C \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \int \cos 2x \sin x \, dx = -\frac{2\cos^3 x}{3} + \cos x + C \] Đáp số: \[ \boxed{-\frac{2\cos^3 x}{3} + \cos x + C} \]