Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho hàm số $y=|\frac{x^4+ax+a}{x+1}|.$ Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm,số đã cho trên đoạn $[1;2].$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để $M2m$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho hàm số $y=|\frac{x^4+ax+a}{x+1}|.$ Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm,số đã cho trên đoạn $[1;2].$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để $M>2m$

Accepted Answer

Xét hàm số $f(x)=\frac{x^4+a x+a}{x+1}$. Ta có $f^{\prime}(x)=\frac{3 x^4+4 x^8}{(x+1)^2}>0, \forall x \in[1 ; 2]$
Do đó $f(1) \leq f(x) \leq f(2), \forall x \in[1 ; 2]$ hay $a+\frac{1}{2} \leq f(x) \leq a+\frac{16}{3}, \forall x \in[1 ; 2]$
Ta xét các trường hợp sau :
Th1 : Nếu $a+\frac{1}{2}>0 \Leftrightarrow a>-\frac{1}{2}$ thì $M=a+\frac{16}{3} ; m=a+\frac{1}{2}$
Theo đề bài $a+\frac{16}{3} \geq 2\left(a+\frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow a \leq \frac{13}{3}$
Do $a$ nguyên nên $a \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\}$.
Th2 : Nếu $a+\frac{16}{3}<0 \Leftrightarrow a<-\frac{16}{3}$ thì $m=-\left(a+\frac{16}{3}\right) ; M=-\left(a+\frac{1}{2}\right)$
Theo đề bài $-\left(a+\frac{1}{2}\right) \geq-2\left(a+\frac{16}{3}\right) \Leftrightarrow a \geq-\frac{61}{6}$
Do $a$ nguyên nên $a \in\{-10 ;-9 ; \ldots ;-6\}$.
Th3 : Nếu $a+\frac{1}{2} \leq 0 \leq a+\frac{16}{3} \Leftrightarrow-\frac{16}{3} \leq a \leq-\frac{1}{2}$ thì $M \geq 0 ; m=0$ (Luôn thỏa mãn)
Do $a$ nguyên nên $a \in\{-5 ;-4 ; \ldots ;-1\}$
Vậy có 15 gái trị của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.