.................

Câu 19. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$. Bước 2: Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx = \int^1_0 \left(2e^x + \frac{3}{e^x}\right) dx \] Bước 3: Tính từng phần của tích phân: \[ \int^1_0 2e^x dx + \int^1_0 \frac{3}{e^x} dx \] Bước 4: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^1_0 2e^x dx = 2 \left[ e^x \right]^1_0 = 2(e - 1) \] \[ \int^1_0 \frac{3}{e^x} dx = 3 \left[ -e^{-x} \right]^1_0 = 3(-e^{-1} + 1) = 3(1 - \frac{1}{e}) \] Bước 5: Cộng lại các kết quả: \[ 2(e - 1) + 3(1 - \frac{1}{e}) = 2e - 2 + 3 - \frac{3}{e} = 2e + 1 - \frac{3}{e} \] Bước 6: Viết dưới dạng phân số: \[ 2e + 1 - \frac{3}{e} = \frac{2e^2 + e - 3}{e} \] Bước 7: So sánh với $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$ để tìm $m$, $n$, và $p$: \[ \frac{2e^2 + e - 3}{e} = \frac{m.e^2+n.e+p}{e} \] Do đó, $m = 2$, $n = 1$, và $p = -3$. Bước 8: Tính $m + 2n - p$: \[ m + 2n - p = 2 + 2(1) - (-3) = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là D. 7. Câu 20. Để tính giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$. Ta có: \[ \int^2_{-2} f(x) \, dx = \int^1_{-2} f(x) \, dx + \int^2_1 f(x) \, dx \] Trong đó: - Khi $x \leq 1$, ta có $f(x) = 3x^2 + 2$ - Khi $x > 1$, ta có $f(x) = 8x - 3$ Do đó: \[ \int^1_{-2} f(x) \, dx = \int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx \] \[ \int^2_1 f(x) \, dx = \int^2_1 (8x - 3) \, dx \] Bây giờ, ta tính từng tích phân này. 1. Tính $\int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx$: \[ \int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx = \left[ x^3 + 2x \right]^1_{-2} \] \[ = \left( 1^3 + 2 \cdot 1 \right) - \left( (-2)^3 + 2 \cdot (-2) \right) \] \[ = (1 + 2) - (-8 - 4) \] \[ = 3 - (-12) \] \[ = 3 + 12 \] \[ = 15 \] 2. Tính $\int^2_1 (8x - 3) \, dx$: \[ \int^2_1 (8x - 3) \, dx = \left[ 4x^2 - 3x \right]^2_1 \] \[ = \left( 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 \right) - \left( 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) \] \[ = (16 - 6) - (4 - 3) \] \[ = 10 - 1 \] \[ = 9 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int^2_{-2} f(x) \, dx = 15 + 9 = 24 \] Vậy giá trị của $\int^2_{-2} f(x) \, dx$ là 24. Đáp án đúng là: B. 24. Câu 21. Để tính $I=\int^3_0f^\prime(x)dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ I = \int^3_0 f'(x) \, dx = f(3) - f(0) \] Bước 1: Xác định giá trị của \( f(3) \) và \( f(0) \) từ đồ thị. - Từ đồ thị, ta thấy \( f(3) = 2 \). - Từ đồ thị, ta thấy \( f(0) = -1 \). Bước 2: Thay các giá trị này vào công thức: \[ I = f(3) - f(0) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \] Vậy, đáp án đúng là: D. \( I = 3 \).