Cvcvvvbbbbb

Để tính tích phân \( J = \int_{1}^{e} (3x + 1) \ln(2x + 1) \, dx \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phương pháp tích phân từng phần dựa trên công thức: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Chúng ta chọn: \[ u = \ln(2x + 1) \] \[ dv = (3x + 1) \, dx \] Từ đó, ta có: \[ du = \frac{2}{2x + 1} \, dx \] \[ v = \int (3x + 1) \, dx = \frac{3x^2}{2} + x \] Áp dụng công thức tích phân từng phần: \[ J = \left[ \left( \frac{3x^2}{2} + x \right) \ln(2x + 1) \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \left( \frac{3x^2}{2} + x \right) \cdot \frac{2}{2x + 1} \, dx \] Tính giá trị của biểu thức đầu tiên: \[ \left[ \left( \frac{3x^2}{2} + x \right) \ln(2x + 1) \right]_{1}^{e} = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \left( \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 1 \right) \ln(2 \cdot 1 + 1) \] \[ = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \left( \frac{3}{2} + 1 \right) \ln(3) \] \[ = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) \] Bây giờ, ta cần tính tích phân còn lại: \[ \int_{1}^{e} \left( \frac{3x^2}{2} + x \right) \cdot \frac{2}{2x + 1} \, dx \] Chúng ta sẽ tách tích phân này thành hai phần: \[ \int_{1}^{e} \left( \frac{3x^2}{2} + x \right) \cdot \frac{2}{2x + 1} \, dx = \int_{1}^{e} \frac{3x^2}{2x + 1} \, dx + \int_{1}^{e} \frac{2x}{2x + 1} \, dx \] Ta thực hiện phép chia để đơn giản hóa từng tích phân: \[ \frac{3x^2}{2x + 1} = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4} + \frac{3}{4(2x + 1)} \] \[ \frac{2x}{2x + 1} = 1 - \frac{1}{2x + 1} \] Do đó: \[ \int_{1}^{e} \frac{3x^2}{2x + 1} \, dx = \int_{1}^{e} \left( \frac{3}{2}x - \frac{3}{4} + \frac{3}{4(2x + 1)} \right) \, dx \] \[ = \frac{3}{2} \int_{1}^{e} x \, dx - \frac{3}{4} \int_{1}^{e} 1 \, dx + \frac{3}{4} \int_{1}^{e} \frac{1}{2x + 1} \, dx \] \[ = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{e} - \frac{3}{4} [x]_{1}^{e} + \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{2} \ln(2x + 1) \right]_{1}^{e} \] \[ = \frac{3}{2} \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) - \frac{3}{4} (e - 1) + \frac{3}{8} (\ln(2e + 1) - \ln(3)) \] \[ \int_{1}^{e} \frac{2x}{2x + 1} \, dx = \int_{1}^{e} \left( 1 - \frac{1}{2x + 1} \right) \, dx \] \[ = [x]_{1}^{e} - \left[ \frac{1}{2} \ln(2x + 1) \right]_{1}^{e} \] \[ = (e - 1) - \frac{1}{2} (\ln(2e + 1) - \ln(3)) \] Cuối cùng, tổng hợp tất cả các kết quả: \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) - \left( \frac{3}{2} \left( \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} \right) - \frac{3}{4} (e - 1) + \frac{3}{8} (\ln(2e + 1) - \ln(3)) + (e - 1) - \frac{1}{2} (\ln(2e + 1) - \ln(3)) \right) \] Sau khi đơn giản hóa, ta có: \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) - \left( \frac{3e^2}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}e - \frac{3}{4} + e - 1 - \frac{1}{2} \ln(2e + 1) + \frac{1}{2} \ln(3) \right) \] \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) - \left( \frac{3e^2}{4} + \frac{3}{4}e + e - \frac{7}{4} - \frac{1}{2} \ln(2e + 1) + \frac{1}{2} \ln(3) \right) \] \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) - \left( \frac{3e^2}{4} + \frac{7}{4}e - \frac{7}{4} - \frac{1}{2} \ln(2e + 1) + \frac{1}{2} \ln(3) \right) \] \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) - \frac{3e^2}{4} - \frac{7}{4}e + \frac{7}{4} + \frac{1}{2} \ln(2e + 1) - \frac{1}{2} \ln(3) \] \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e + \frac{1}{2} \right) \ln(2e + 1) - \frac{5}{2} \ln(3) - \frac{3e^2}{4} - \frac{7}{4}e + \frac{7}{4} - \frac{1}{2} \ln(3) \] \[ J = \left( \frac{3e^2}{2} + e + \frac{1}{2} \right) \ln(2e + 1) - \frac{3e^2}{4} - \frac{7}{4}e + \frac{7}{4} - 3 \ln(3) \] Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.