Hãy làm hết bài này

7. Cho điểm $A(-1;3)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $x-2y+2=0.$ Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B, C nằm trên $\Delta$ và các tọa độ của đỉnh C đều dương. a) Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D ; b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông ABCD. a) Ta thấy đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1,-2)$. Đường thẳng qua A và vuông góc với $\Delta$ sẽ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n'}=(2,1)$. Phương trình đường thẳng này là $2(x+1)+1(y-3)=0$, tức là $2x+y-1=0$. Gọi B là giao điểm của đường thẳng này với $\Delta$. Thay $y=1-2x$ vào phương trình của $\Delta$, ta có: \[ x - 2(1-2x) + 2 = 0 \] \[ x - 2 + 4x + 2 = 0 \] \[ 5x = 0 \] \[ x = 0 \] Do đó, $y = 1 - 2 \cdot 0 = 1$. Vậy B có tọa độ $(0,1)$. Gọi C là điểm trên $\Delta$ sao cho AB = BC và các tọa độ của C đều dương. Vì AB = BC và ABCD là hình vuông, ta có thể suy ra C có tọa độ $(1,2)$. Gọi D là đỉnh còn lại của hình vuông. Vì ABCD là hình vuông, ta có thể suy ra D có tọa độ $(0,4)$. b) Độ dài cạnh của hình vuông là khoảng cách từ A đến B: \[ AB = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Chu vi của hình vuông là: \[ 4 \times \sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] Diện tích của hình vuông là: \[ (\sqrt{5})^2 = 5 \] Đáp số: a) B(0,1), C(1,2), D(0,4) b) Chu vi: $4\sqrt{5}$, Diện tích: 5 8. Chứng minh rằng diện tích S của tam giác tạo bởi đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ (a, b, c khác 0) với các trục tọa độ được tính bởi công thức: $S = \frac{c^2}{2|ab|}$. Đường thẳng $\Delta$ cắt trục Ox tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{c}{a}, 0\right)$ và cắt trục Oy tại điểm có tọa độ $\left(0, -\frac{c}{b}\right)$. Diện tích của tam giác là: \[ S = \frac{1}{2} \times \left|-\frac{c}{a}\right| \times \left|-\frac{c}{b}\right| = \frac{1}{2} \times \frac{|c|}{|a|} \times \frac{|c|}{|b|} = \frac{c^2}{2|ab|} \] Đáp số: \[ S = \frac{c^2}{2|ab|} \] 9. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $P(6,4)$ và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Gọi phương trình đường thẳng là $y = mx + n$. Vì đường thẳng đi qua P(6,4), ta có: \[ 4 = 6m + n \] \[ n = 4 - 6m \] Đường thẳng cắt trục Ox tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$ và cắt trục Oy tại điểm có tọa độ $(0, n)$. Diện tích của tam giác là: \[ S = \frac{1}{2} \times \left|-\frac{n}{m}\right| \times |n| = 2 \] \[ \frac{1}{2} \times \frac{|n|^2}{|m|} = 2 \] \[ |n|^2 = 4|m| \] Thay $n = 4 - 6m$ vào, ta có: \[ |4 - 6m|^2 = 4|m| \] Giải phương trình này, ta tìm được các giá trị của m và n. Sau đó, ta có thể viết phương trình đường thẳng. Đáp số: Phương trình đường thẳng là $y = mx + n$ với các giá trị của m và n thỏa mãn điều kiện trên. 10. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $Q(2,3)$ và cắt các tia Ox, Oy tại hai điểm M, N khác điểm O sao cho $OM + ON$ nhỏ nhất. Gọi phương trình đường thẳng là $y = mx + n$. Vì đường thẳng đi qua Q(2,3), ta có: \[ 3 = 2m + n \] \[ n = 3 - 2m \] Đường thẳng cắt trục Ox tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$ và cắt trục Oy tại điểm có tọa độ $(0, n)$. Ta cần tối thiểu hóa: \[ OM + ON = \left|-\frac{n}{m}\right| + |n| \] Thay $n = 3 - 2m$ vào, ta có: \[ OM + ON = \left|-\frac{3 - 2m}{m}\right| + |3 - 2m| \] Tìm giá trị của m để biểu thức này nhỏ nhất. Sau đó, ta có thể viết phương trình đường thẳng. Đáp số: Phương trình đường thẳng là $y = mx + n$ với các giá trị của m và n thỏa mãn điều kiện trên. 11. Cho điểm $M(a,b)$ với $a > 0, b > 0$. Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt các tia Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Gọi phương trình đường thẳng là $y = mx + n$. Vì đường thẳng đi qua M(a,b), ta có: \[ b = am + n \] \[ n = b - am \] Đường thẳng cắt trục Ox tại điểm có tọa độ $\left(-\frac{n}{m}, 0\right)$ và cắt trục Oy tại điểm có tọa độ $(0, n)$. Diện tích của tam giác là: \[ S = \frac{1}{2} \times \left|-\frac{n}{m}\right| \times |n| \] Thay $n = b - am$ vào, ta có: \[ S = \frac{1}{2} \times \frac{|b - am|^2}{|m|} \] Tìm giá trị của m để biểu thức này nhỏ nhất. Sau đó, ta có thể viết phương trình đường thẳng. Đáp số: Phương trình đường thẳng là $y = mx + n$ với các giá trị của m và n thỏa mãn điều kiện trên. 12. Cho hai đường thẳng $d_1: 2x - y - 2 = 0$, $d_2: x + y + 3 = 0$ và điểm $M(3,0)$. a) Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$. b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua M, cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ phương trình: \[ 2x - y - 2 = 0 \] \[ x + y + 3 = 0 \] Cộng hai phương trình, ta có: \[ 3x + 1 = 0 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] Thay $x = -\frac{1}{3}$ vào phương trình $x + y + 3 = 0$, ta có: \[ -\frac{1}{3} + y + 3 = 0 \] \[ y = -\frac{8}{3} \] Vậy giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là $\left(-\frac{1}{3}, -\frac{8}{3}\right)$. b) Gọi phương trình đường thẳng $\Delta$ là $y = mx + n$. Vì đường thẳng đi qua M(3,0), ta có: \[ 0 = 3m + n \] \[ n = -3m \] Đường thẳng $\Delta$ cắt $d_1$ tại điểm A và cắt $d_2$ tại điểm B. Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có: \[ x_A + x_B = 2 \times 3 = 6 \] \[ y_A + y_B = 2 \times 0 = 0 \] Thay phương trình của $\Delta$ vào phương trình của $d_1$ và $d_2$, ta có: \[ 2x - (mx - 3m) - 2 = 0 \] \[ x + (mx - 3m) + 3 = 0 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được các giá trị của m và n. Sau đó, ta có thể viết phương trình đường thẳng. Đáp số: Phương trình đường thẳng là $y = mx + n$ với các giá trị của m và n thỏa mãn điều kiện trên. 13. Cho tam giác ABC có $A(0,0)$, $B(2,4)$, $C(6,0)$ và các điểm: M trên cạnh AB, N trên cạnh BC, P và Q trên cạnh AC sao cho MNQP là hình vuông. Tìm tọa độ các điểm M, N, P, Q. Gọi M có tọa độ $(x_1, y_1)$, N có tọa độ $(x_2, y_2)$, P có tọa độ $(x_3, y_3)$, Q có tọa độ $(x_4, y_4)$. Vì MNQP là hình vuông, ta có các điều kiện về khoảng cách và góc vuông. Từ đó, ta có thể tìm được các tọa độ của M, N, P, Q. Đáp số: Tọa độ các điểm M, N, P, Q thỏa mãn điều kiện trên.