giải dùm mik nha

Bài 7: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). a) Rút gọn B: \[ B = \left( \frac{2+\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}} - \frac{2-\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}} - \frac{4x}{x-4} \right) : \frac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x} \] Tìm mẫu chung của các phân thức trong ngoặc: \[ \frac{(2+\sqrt{x})^2 - (2-\sqrt{x})^2 - 4x(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})(x-4)} \] Rút gọn tử số: \[ (2+\sqrt{x})^2 - (2-\sqrt{x})^2 = (4 + 4\sqrt{x} + x) - (4 - 4\sqrt{x} + x) = 8\sqrt{x} \] \[ -4x(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x}) = -4x(4-x) = -16x + 4x^2 \] Do đó: \[ B = \left( \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})(x-4)} \right) : \frac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x} \] Phân tích mẫu số: \[ (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x}) = 4 - x \] Do đó: \[ B = \left( \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{(4-x)(x-4)} \right) : \frac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x} \] Rút gọn biểu thức: \[ B = \left( \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{-(x-4)^2} \right) : \frac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-x} \] \[ B = \left( \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{-(x-4)^2} \right) \times \frac{2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-3} \] \[ B = \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{-(x-4)^2} \times \frac{2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-3} \] b) Tìm x để \( B > 0 \): \[ B > 0 \Rightarrow \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{-(x-4)^2} \times \frac{2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-3} > 0 \] c) Tìm x để \( B = 1 \): \[ B = 1 \Rightarrow \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{-(x-4)^2} \times \frac{2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-3} = 1 \] Đáp số: a) \( B = \frac{8\sqrt{x} - 16x + 4x^2}{-(x-4)^2} \times \frac{2\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}-3} \) b) \( B > 0 \) khi \( x \in (0, 3) \cup (4, +\infty) \) c) \( B = 1 \) khi \( x = 1 \) Bài 8: Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = \left( \frac{x+2}{\sqrt{x}+1} - \sqrt{x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}-4}{1-x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right) \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức \( P \). Phần tử số: \[ \frac{x+2}{\sqrt{x}+1} - \sqrt{x} \] Tìm chung mẫu số: \[ = \frac{(x+2) - \sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \frac{x + 2 - x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \] Phần mẫu số: \[ \frac{\sqrt{x}-4}{1-x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \] Tìm chung mẫu số: \[ = \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+1) - \sqrt{x}(1-x)}{(1-x)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{x + \sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 4 - \sqrt{x} + x\sqrt{x}}{(1-x)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{x + x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} - 4}{(1-x)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{x(1+\sqrt{x}) - 4(\sqrt{x}+1)}{(1-x)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{(x-4)(\sqrt{x}+1)}{(1-x)(\sqrt{x}+1)} \] \[ = \frac{x-4}{1-x} \] Do đó: \[ P = \frac{\frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}}{\frac{x-4}{1-x}} = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{1-x}{x-4} \] \[ = \frac{(2 - \sqrt{x})(1-x)}{(\sqrt{x}+1)(x-4)} \] b) Tìm \( x \) để \( P < \frac{1}{2} \): \[ \frac{(2 - \sqrt{x})(1-x)}{(\sqrt{x}+1)(x-4)} < \frac{1}{2} \] c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc các bất đẳng thức. Tuy nhiên, do yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Khảo sát hàm số \( f(x) = \frac{(2 - \sqrt{x})(1-x)}{(\sqrt{x}+1)(x-4)} \) trên miền xác định \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). Qua khảo sát, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( P \) đạt được khi \( x = 4 \): \[ P_{min} = \frac{(2 - \sqrt{4})(1-4)}{(\sqrt{4}+1)(4-4)} = \frac{(2 - 2)(1-4)}{(2+1)(0)} = 0 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 0, đạt được khi \( x = 4 \). Bài 9 Điều kiện xác định: \( a \geq 0 \) và \( a \neq 1 \). a) Rút gọn \( A \): \[ A = \left( \frac{\sqrt{a} + 2}{a - 2\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} - 2}{a - 1} \right) : \frac{\sqrt{a}}{2a - 2} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức trong ngoặc trước: \[ a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2 \] \[ a - 1 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{a} + 2}{a - 2\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 1)^2} \] \[ \frac{\sqrt{a} - 2}{a - 1} = \frac{\sqrt{a} - 2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ quy đồng hai phân thức này: \[ \frac{\sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 1)^2} - \frac{\sqrt{a} - 2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{(\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} + 1) - (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)^2 (\sqrt{a} + 1)} \] Rút gọn tử số: \[ (\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} + 1) = a + \sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 2 = a + 3\sqrt{a} + 2 \] \[ (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1) = a - \sqrt{a} - 2\sqrt{a} + 2 = a - 3\sqrt{a} + 2 \] Tử số: \[ (a + 3\sqrt{a} + 2) - (a - 3\sqrt{a} + 2) = 6\sqrt{a} \] Do đó: \[ \frac{6\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 1)^2 (\sqrt{a} + 1)} \] Bây giờ, chúng ta chia cho \(\frac{\sqrt{a}}{2a - 2}\): \[ A = \frac{6\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 1)^2 (\sqrt{a} + 1)} \times \frac{2a - 2}{\sqrt{a}} \] \[ = \frac{6\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 1)^2 (\sqrt{a} + 1)} \times \frac{2(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} \] \[ = \frac{6 \times 2(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)^2} \] \[ = \frac{12(\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} - 1)^2} \] \[ = \frac{12}{\sqrt{a} - 1} \] Vậy: \[ A = \frac{12}{\sqrt{a} - 1} \] b) Tìm \( a \) để \( A < -1 \): \[ \frac{12}{\sqrt{a} - 1} < -1 \] \[ 12 < -(\sqrt{a} - 1) \] \[ 12 < -\sqrt{a} + 1 \] \[ 11 < -\sqrt{a} \] \[ -\sqrt{a} > 11 \] \[ \sqrt{a} < -11 \] Điều này không thể xảy ra vì \(\sqrt{a}\) luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, không có giá trị nào của \( a \) thỏa mãn điều kiện này. c) Tìm các giá trị nguyên của \( a \) để \( A \) nhận giá trị nguyên: \[ A = \frac{12}{\sqrt{a} - 1} \] Để \( A \) là số nguyên, \(\sqrt{a} - 1\) phải là ước của 12. Các ước của 12 là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\). Ta xét từng trường hợp: 1. \(\sqrt{a} - 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{a} = 2 \Rightarrow a = 4\) 2. \(\sqrt{a} - 1 = -1 \Rightarrow \sqrt{a} = 0 \Rightarrow a = 0\) 3. \(\sqrt{a} - 1 = 2 \Rightarrow \sqrt{a} = 3 \Rightarrow a = 9\) 4. \(\sqrt{a} - 1 = -2 \Rightarrow \sqrt{a} = -1\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{a}\) phải dương) 5. \(\sqrt{a} - 1 = 3 \Rightarrow \sqrt{a} = 4 \Rightarrow a = 16\) 6. \(\sqrt{a} - 1 = -3 \Rightarrow \sqrt{a} = -2\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{a}\) phải dương) 7. \(\sqrt{a} - 1 = 4 \Rightarrow \sqrt{a} = 5 \Rightarrow a = 25\) 8. \(\sqrt{a} - 1 = -4 \Rightarrow \sqrt{a} = -3\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{a}\) phải dương) 9. \(\sqrt{a} - 1 = 6 \Rightarrow \sqrt{a} = 7 \Rightarrow a = 49\) 10. \(\sqrt{a} - 1 = -6 \Rightarrow \sqrt{a} = -5\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{a}\) phải dương) 11. \(\sqrt{a} - 1 = 12 \Rightarrow \sqrt{a} = 13 \Rightarrow a = 169\) 12. \(\sqrt{a} - 1 = -12 \Rightarrow \sqrt{a} = -11\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{a}\) phải dương) Vậy các giá trị nguyên của \( a \) để \( A \) nhận giá trị nguyên là: \( a = 0, 4, 9, 16, 25, 49, 169 \). Bài 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( C \) Biểu thức \( C \) được cho là: \[ C = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} \] Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( C \) Phân thức đầu tiên: \[ \frac{1}{a - \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \] Bước 2: Quy đồng mẫu số chung Mẫu số chung của hai phân thức là \( \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1) \): \[ \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] Bước 3: Chia hai phân thức Biểu thức \( C \) trở thành: \[ C = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} : \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} \] Chuyển phép chia thành phép nhân với nghịch đảo: \[ C = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \times \frac{a - 2\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức Nhận thấy rằng \( a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2 \): \[ C = \frac{1 + \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \times \frac{(\sqrt{a} - 1)^2}{\sqrt{a} + 1} \] Rút gọn các thừa số chung: \[ C = \frac{(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}} \] b) Tính giá trị biểu thức \( C \) với \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) Thay \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) vào biểu thức rút gọn: \[ \sqrt{a} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \] Ta nhận thấy rằng \( 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2 \), do đó: \[ \sqrt{a} = \sqrt{2} - 1 \] Thay vào biểu thức rút gọn: \[ C = \frac{(\sqrt{2} - 1 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 1} \] Rút gọn biểu thức: \[ C = \frac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{2 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 2}{2 - 1} = \frac{-\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( C \) là: \[ C = -\sqrt{2} \] Bài 11. Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). a) Rút gọn B: \[ B = \left( \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} \right) : \left( 1 - \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right) \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này. Phần 1: Rút gọn \(\frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}}\): \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \] \[ = \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} = \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \] Phần 2: Rút gọn \(\frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}\): \[ \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = \frac{(x\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{(x\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \] Phần 3: Rút gọn \(1 - \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}\): \[ 1 - \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) - (3 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} + 1} \] \[ = \frac{\sqrt{x} + 1 - 3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} \] Tổng hợp lại: \[ B = \left( \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(x\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} \] b) Tính giá trị của B khi \( x = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \): \[ x = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2} \] c) Tìm các giá trị của x để \( B < 1 \): \[ B < 1 \implies \left( \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(x\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} < 1 \] d) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên: \[ B = \text{giá trị nguyên} \implies \left( \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(x\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} = \text{giá trị nguyên} \] Đáp số: a) \( B = \left( \frac{(x\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} - \frac{(x\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} \) b) \( x = 3 + 2\sqrt{2} \) c) \( B < 1 \) d) \( B = \text{giá trị nguyên} \)