Giúp mik vs Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC . Tính $|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|$,$A.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac{2\sqrt3a}3.$ $B.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac{a\sqrt7}2.$ $C.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac a2.$ $D.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac{3a}2.$

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC với cạnh a, M là trung điểm của BC. Ta sẽ tính $|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|$.

Bước 1: Xác định các vectơ liên quan:
- $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A.
- $\overrightarrow{MC}$ là vectơ từ M đến C.

Bước 2: Ta biết rằng M là trung điểm của BC, nên $\overrightarrow{MC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Bước 3: Ta cần tính $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}$:
- $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Bước 4: Ta biết rằng trong tam giác đều, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$. Do đó:
- $\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC})$

Bước 5: Ta biết rằng $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$, do đó:
- $\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
- $= \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Bước 6: Ta biết rằng trong tam giác đều, $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{AB}$ có cùng độ dài a và góc giữa chúng là 120°. Do đó:
- $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = |\frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}|$
- $= \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}|$

Bước 7: Ta tính $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}|$:
- $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}| = \sqrt{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|\cos(120^\circ)}$
- $= \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})}$
- $= \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$
- $= \sqrt{3a^2}$
- $= a\sqrt{3}$

Bước 8: Ta có:
- $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}$

Đáp án: B. $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}$