Giúp mik vs Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC . Tính $|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|$,$A.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac{2\sqrt3a}3.$ $B.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac{a\sqrt7}2.$ $C.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac a2.$ $D.|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|=\frac{3a}2.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 4:
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC với cạnh a, M là trung điểm của BC. Ta sẽ tính $|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{MC}|$.

Bước 1: Xác định các vectơ liên quan:
- $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A.
- $\overrightarrow{MC}$ là vectơ từ M đến C.

Bước 2: Ta biết rằng M là trung điểm của BC, nên $\overrightarrow{MC} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Bước 3: Ta cần tính $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}$:
- $\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

Bước 4: Ta biết rằng trong tam giác đều, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$. Do đó:
- $\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC})$

Bước 5: Ta biết rằng $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CA}$, do đó:
- $\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}(-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CA}) = \overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
- $= \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Bước 6: Ta biết rằng trong tam giác đều, $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{AB}$ có cùng độ dài a và góc giữa chúng là 120°. Do đó:
- $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = |\frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}|$
- $= \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}|$

Bước 7: Ta tính $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}|$:
- $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{AB}| = \sqrt{|\overrightarrow{CA}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 - 2|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|\cos(120^\circ)}$
- $= \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})}$
- $= \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$
- $= \sqrt{3a^2}$
- $= a\sqrt{3}$

Bước 8: Ta có:
- $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do đó, đáp án đúng là:
B. $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}$

Đáp án: B. $|\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{MC}| = \frac{a\sqrt{7}}{2}$

Huyền Trang · Answer

Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACMD là hình bình hành
⟹ $\displaystyle \begin{cases}
AD//MC & \
AD=MC &
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
AD//BM & \
AD=BM &
\end{cases}$
Tam giác ABC đều $\displaystyle \Longrightarrow AB=AC=BC=a$
Tam giác ABC đều có AM là trung tuyến ⟹ AM đồng thời là đường cao ⟹ AM$\displaystyle \bot $BM
Xét tam giác ABM vuông tại M, theo Pytago, có:
$\displaystyle AM=\sqrt{AB^{2} -BM^{2}} =\sqrt{a^{2} -\left(\frac{a}{2} ight)^{2}} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét tứ giác ADBM, có:
AD//BM
AD=BM
⟹ ADBM là hình bình hành
Hình bình hành ADBM có: $\displaystyle AM\bot BM$
⟹ ADBM là hình chữ nhật
⟹ DB=AM=$\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Có:
$\displaystyle |\overrightarrow{CA} -\overrightarrow{MC} |=|\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{CM} |=|\overrightarrow{CD} |=CD$
Xét tam giác DBC vuông tại B, theo Pytago, có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
DC^{2} =DB^{2} +BC^{2}\
\Longrightarrow DC=\sqrt{DB^{2} +BC^{2}} =\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{2} +a^{2}} =\frac{a\sqrt{7}}{2} \Longrightarrow B
\end{array}$