<p>giải các câu</p>

Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P):~2x-3y+4z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là: Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$, ta lấy các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng đó. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: \[ 2x - 3y + 4z - 1 = 0 \] Từ đây, ta thấy các hệ số của $x$, $y$, và $z$ lần lượt là 2, -3, và 4. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \overrightarrow{n} = (2, -3, 4) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: \[ A.~\overrightarrow{n_4}=(-1;2;-3) \] \[ B.~\overrightarrow{n_1}=(-3;4;-1) \] \[ C.~\overrightarrow{n_i}=(2;-3;4) \] \[ D.~\overrightarrow{n_1}=(2;3;4) \] Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến đúng là: \[ C.~\overrightarrow{n_i}=(2;-3;4) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~\overrightarrow{n_i}=(2;-3;4)} \] Câu 2. Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha):3x+2y-4z+1=0$, ta cần tìm vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: \[ 3x + 2y - 4z + 1 = 0 \] Từ phương trình này, ta thấy các hệ số của $x$, $y$, và $z$ lần lượt là 3, 2, và -4. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ có dạng: \[ \overrightarrow{n} = (3, 2, -4) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{n_2} = (3, 2, 4)$ - B. $\overrightarrow{n_3} = (2, -4, 1)$ - C. $\overrightarrow{n_1} = (3, -4, 1)$ - D. $\overrightarrow{n_4} = (3, 2, -4)$ Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{n_4} = (3, 2, -4)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\overrightarrow{n_4} = (3, 2, -4)} \] Câu 3. Phương trình mặt phẳng $(P)$ được cho là $2x + 3y + z + 2 = 0$. Ta nhận thấy rằng véctơ pháp tuyến của mặt phẳng này có dạng $(a, b, c)$, trong đó $a$, $b$, và $c$ là các hệ số của $x$, $y$, và $z$ tương ứng trong phương trình mặt phẳng. Do đó, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (2, 3, 1)$. Ta kiểm tra các lựa chọn đã cho: - $A.~\overrightarrow{n}_2(2;3;2)$: Không đúng vì thành phần thứ ba là 2, không phải 1. - $B.~\overrightarrow{n}_i(2;3;0)$: Không đúng vì thành phần thứ ba là 0, không phải 1. - $C.~\overrightarrow{n}_2(2;3;1)$: Đúng vì thành phần thứ ba là 1. - $D.~\overrightarrow{n}_4(2;0;3)$: Không đúng vì thành phần thứ hai là 0, không phải 3. Vậy, véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n}_2(2;3;1)$. Đáp án đúng là: $C.~\overrightarrow{n}_2(2;3;1)$. Câu 4. Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy), ta cần hiểu rằng mặt phẳng (Oxy) nằm trong không gian Oxyz và có phương trình là \( z = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng đó. Trong không gian Oxyz: - Mặt phẳng (Oxy) bao gồm các điểm có tọa độ dạng \((x, y, 0)\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) sẽ có hướng thẳng đứng theo trục Oz, tức là vuông góc với cả hai vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i} = (1, 0, 0)\) và \(\overrightarrow{j} = (0, 1, 0)\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là \(\overrightarrow{k} = (0, 0, 1)\). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\overrightarrow{k} = (0, 0, 1) \] Câu 5. Mặt phẳng $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-1} + \frac{z}{3} = 1$ có dạng chuẩn là: \[ -\frac{1}{2}x - y + \frac{1}{3}z = 1 \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ các phân số: \[ -3x - 6y + 2z = 6 \] Từ đây, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = (-3, -6, 2)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{n} = (-3, -6, 2) \] Đáp án: C. $\overrightarrow{n} = (-3, -6, 2)$ Câu 6. Để xác định phương pháp giải và lựa chọn đáp án đúng, chúng ta cần biết thêm thông tin về phương trình của mặt phẳng hoặc các điểm thuộc mặt phẳng đó. Tuy nhiên, dựa trên các thông tin đã cho, chúng ta sẽ giả sử rằng cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng từ các lựa chọn đã cho. Giả sử phương trình của mặt phẳng là \(ax + by + cz = d\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ là \(\overrightarrow{n} = (a, b, c)\). Dựa vào các lựa chọn đã cho: - A. \(\overrightarrow{n_1} = (-1, 1, 1)\) - B. \(\overrightarrow{n_2} = (1, 1, -1)\) - C. \(\overrightarrow{n_3} = (1, 1, 1)\) - D. \(\overrightarrow{n_4} = (1, -1, 1)\) Chúng ta cần xác định vectơ nào trong số này là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Để làm điều này, chúng ta cần biết thêm thông tin về phương trình của mặt phẳng hoặc các điểm thuộc mặt phẳng đó. Tuy nhiên, nếu không có thông tin cụ thể, chúng ta sẽ giả sử rằng một trong các vectơ này là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vì không có thông tin cụ thể để xác định vectơ pháp tuyến, chúng ta sẽ giả sử rằng một trong các vectơ này là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Do đó, chúng ta sẽ chọn một trong các vectơ này tùy ý. Giả sử chúng ta chọn vectơ \(\overrightarrow{n_3} = (1, 1, 1)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Đáp án: C. \(\overrightarrow{n_3} = (1, 1, 1)\). Câu 7. Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với trục Ox. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oyz) là mặt phẳng đi qua các điểm có tọa độ (0, y, z). Điều này có nghĩa là tọa độ x của mọi điểm trên mặt phẳng này đều bằng 0. Do đó, phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: \[ x = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x=0 \] Câu 8. Phương trình của mặt phẳng $(Ov)$ là phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và trục Oy. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(Ov)$ là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và trục Oy. Mặt phẳng này sẽ song song với trục Oz và nằm trên mặt phẳng yOz. Do đó, phương trình của mặt phẳng $(Ov)$ là: \[ x = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x=0. \] Câu 9. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Ox) là mặt phẳng đi qua trục Ox và vuông góc với trục Oz. Mặt phẳng này bao gồm tất cả các điểm có tọa độ (x, y, 0), nghĩa là tọa độ z của các điểm trên mặt phẳng này luôn bằng 0. Do đó, phương trình của mặt phẳng (Ox) là: \[ z = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~z=0 \] Câu 10. Câu 1: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(2;-1;3)$ là: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(x_0, y_0, z_0)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(a, b, c)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Thay vào ta có: \[ 2(x - 1) - 1(y - 2) + 3(z + 3) = 0 \] \[ 2x - 2 - y + 2 + 3z + 9 = 0 \] \[ 2x - y + 3z + 9 = 0 \] Đáp án đúng là: $A.~2x-y+3z+9=0$ Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~2x+3y+z-2024=0.$ a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(2;3;1).$ b) Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(6;9;3).$ c) Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(-4;-6;-2).$ d) Điểm $M(0;0;2024)$ không thuộc mặt phẳng (P). a) Đúng vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P):~2x+3y+z-2024=0$ là $\overrightarrow n=(2;3;1).$ b) Sai vì mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(0;1;0).$ c) Sai vì mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(1;0;0).$ d) Sai vì thay $M(0;0;2024)$ vào phương trình $(P):~2x+3y+z-2024=0$ ta có $0 + 0 + 2024 - 2024 = 0$, tức là điểm M thuộc mặt phẳng (P). Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(1;-3;0),~B(-5;1;2).$ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. a) $AB = (-6;4;2)$ b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n=(12;-8;-4)$ c) Phương trình mặt phẳng (P) là: $-3x+2y+z-3=0$ d) Mặt phẳng (Q) đi qua $C(1;-3;9)$ và song song với (P) thì mặt phẳng (Q) đi qua gốc toạ độ. a) Sai vì $AB = (-5 - 1; 1 + 3; 2 - 0) = (-6; 4; 2)$ b) Đúng vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $\overrightarrow{AB} = (-6; 4; 2)$, do đó $\overrightarrow n = (-6; 4; 2) \times k = (12; -8; -4)$ với $k = -2$. c) Đúng vì phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $-3x + 2y + z - 3 = 0$. d) Sai vì mặt phẳng (Q) đi qua $C(1; -3; 9)$ và song song với (P) sẽ có phương trình $-3x + 2y + z + d = 0$. Thay $C(1; -3; 9)$ vào ta có $-3 + (-6) + 9 + d = 0 \Rightarrow d = 0$. Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là $-3x + 2y + z = 0$, không đi qua gốc tọa độ. Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho điểm $A(1;2;3)$ và $B(3;4;7).$ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . a) Độ dài đoạn thẳng AB bằng $2\sqrt6$ b) Hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (Oyz) là B (3;0;7) c) Trung điểm của đoạn thẳng AB là $M(2;3;5)$ d) Phương trình mặt phẳng (P) là: $-x-y-2z-15=0$ a) Sai vì độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ b) Đúng vì hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (Oyz) là B (3;0;7) c) Đúng vì trung điểm của đoạn thẳng AB là $M(\frac{1+3}{2}; \frac{2+4}{2}; \frac{3+7}{2}) = M(2;3;5)$ d) Sai vì phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $-x - y - 2z + 15 = 0$ Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm $A(0;3;1),~B(1;0;-1),~C(-2;1;1).$ a) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $G(-\frac13;\frac43;\frac13)$ b) Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là $(Q):~3x-y-2x-5=0$ c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_{1n}}=(1;-2;2)$ d) Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(-2;5;3)$ a) Đúng vì tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $G(\frac{0+1-2}{3}; \frac{3+0+1}{3}; \frac{1-1+1}{3}) = G(-\frac13; \frac43; \frac13)$ b) Sai vì phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là $(Q):~3x - y - 2z - 5 = 0$ c) Đúng vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_{1n}}=(1;-2;2)$ d) Đúng vì mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(-2;5;3)$