Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F...

1) Ta có: $\widehat{F E B}=90^{\circ}(C E \perp A B)$
$\widehat{F M B}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác BMFE có $\widehat{F E B}+\widehat{F M B}=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có $\widehat{A M B}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $A M \perp M B$
Xét tam giác AKB có:
$\mathrm{KE} \perp \mathrm{AB}$ (giả thiết)
$\mathrm{AM} \perp \mathrm{KB}$ (chứng minh trên)
Mà $K E$ cắt $A M$ tại $F$ suy ra $F$ là trực tâm của $\triangle A K B$.
Suy ra BF $\perp A K$.
Xét $\triangle \mathrm{AFE}$ và $\triangle \mathrm{KBE}$ có:

$\widehat{A E F}=\widehat{K E B}=90^{\circ}(\mathrm{KE} \perp \mathrm{AB})$

$\widehat{A F E}=\widehat{K B E}$ (tứ giác BMFE nội tiếp)
Suy ra $\triangle \mathrm{AFE} \quad \triangle \mathrm{KBE}$ (g.g)
Từ đó suy ra $\frac{A E}{K E}=\frac{F E}{B E} \Leftrightarrow A E . B E=K E . E F$ (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:
$\mathrm{OA}=\mathrm{OM}=\mathrm{R}$ suy ra $\triangle \mathrm{AOM}$ cân tại O suy ra $\widehat{O M A}=\widehat{O A M}$ (1)
Ta có $\widehat{A M O}+\widehat{I M F}=\widehat{I M O}=90^{\circ} \widehat{A M O}+\widehat{I M F}=\widehat{I M O}=90^{\circ}$ (MI là tiếp tuyến của (0))
$\widehat{K M I}+\widehat{I M F}=\widehat{K M F}=90^{\circ}(\mathrm{KM} \perp \mathrm{FM})$
Suy ra $\widehat{A M O}=\widehat{K M I}(2)$
Mà $\triangle \mathrm{AFE} \quad \triangle \mathrm{KBE}$ suy ra $\widehat{O A M}=\widehat{I K M}$ (hai góc tương ứng) (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra $\widehat{I M K}=\widehat{I K M}$
Suy ra tam giác IMK cân tại $I$ suy ra $I M=I K$ (4)
Xét $\triangle K M F$ vuông tại $M$ ta có:
$\widehat{F K M}+\widehat{K F M}=90^{\circ}$
$\widehat{K M I}+\widehat{I M F}=90^{\circ}$
Mà $\widehat{I M K}=\widehat{I K M}$ (chứng minh trên)
Nên $\widehat{I M F}=\widehat{I F M}$ suy ra $\Delta \mathrm{IMF}$ cân tại I suy ra $\mathrm{IM}=\mathrm{IF}$ (5)
Từ (4) và (5) suy ra $\mathrm{KI}=\mathrm{IF}(=\mathrm{IM})$ (điều phải chứng minh)