Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F...

1) Ta có: $$
$$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét tứ giác BMFE có $$
Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $$
Xét tam giác AKB có:
$$ (giả thiết)
$$ (chứng minh trên)
Mà $$ cắt $$ tại $$ suy ra $$ là trực tâm của $$.
Suy ra BF $$.
Xét $$ và $$ có:

$$ (tứ giác BMFE nội tiếp)
Suy ra $$ (g.g)
Từ đó suy ra $$ (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:
$$ suy ra $$ cân tại O suy ra $$ (1)
Ta có $$ (MI là tiếp tuyến của (0))
$$
Suy ra $$
Mà $$ suy ra $$ (hai góc tương ứng) (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra $$
Suy ra tam giác IMK cân tại $$ suy ra $$ (4)
Xét $$ vuông tại $$ ta có:
$$
$$
Mà $$ (chứng minh trên)
Nên $$ suy ra $$ cân tại I suy ra $$ (5)
Từ (4) và (5) suy ra $$ (điều phải chứng minh)