Giup e vs a

Câu 40: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tìm giá trị của $\int^{10}_af(x)dx$. Bước 1: Xác định các tích phân đã biết: - $\int^{10}_cf(x)dx = 17$ - $\int^8_0f(x)dx = 12$ Bước 2: Áp dụng tính chất của tích phân: \[ \int^{10}_0 f(x) dx = \int^{10}_c f(x) dx + \int^c_0 f(x) dx \] Bước 3: Biết rằng $\int^{10}_0 f(x) dx$ có thể được viết thành tổng của hai tích phân từ 0 đến 8 và từ 8 đến 10: \[ \int^{10}_0 f(x) dx = \int^8_0 f(x) dx + \int^{10}_8 f(x) dx \] Bước 4: Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^{10}_0 f(x) dx = 12 + \int^{10}_8 f(x) dx \] Bước 5: Biết rằng $\int^{10}_0 f(x) dx$ cũng có thể được viết thành: \[ \int^{10}_0 f(x) dx = \int^{10}_c f(x) dx + \int^c_0 f(x) dx \] \[ \int^{10}_0 f(x) dx = 17 + \int^c_0 f(x) dx \] Bước 6: Kết hợp hai phương trình trên: \[ 12 + \int^{10}_8 f(x) dx = 17 + \int^c_0 f(x) dx \] Bước 7: Giả sử $c = 8$, vì vậy: \[ 12 + \int^{10}_8 f(x) dx = 17 + \int^8_0 f(x) dx \] \[ 12 + \int^{10}_8 f(x) dx = 17 + 12 \] \[ 12 + \int^{10}_8 f(x) dx = 29 \] \[ \int^{10}_8 f(x) dx = 17 \] Bước 8: Tìm $\int^{10}_a f(x) dx$: \[ \int^{10}_a f(x) dx = \int^{10}_8 f(x) dx + \int^8_a f(x) dx \] Giả sử $a = 0$, vì vậy: \[ \int^{10}_0 f(x) dx = 17 + \int^8_0 f(x) dx \] \[ \int^{10}_0 f(x) dx = 17 + 12 \] \[ \int^{10}_0 f(x) dx = 29 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{29} \] Câu 41. Để tính tích phân \( I = \int_{1}^{5} \frac{2|x-2| + 1}{x} \, dx \), ta cần xét các trường hợp của \( |x-2| \). 1. Xét \( x \geq 2 \): \[ |x-2| = x-2 \] Do đó: \[ \frac{2|x-2| + 1}{x} = \frac{2(x-2) + 1}{x} = \frac{2x - 4 + 1}{x} = \frac{2x - 3}{x} = 2 - \frac{3}{x} \] 2. Xét \( x < 2 \): \[ |x-2| = -(x-2) = 2-x \] Do đó: \[ \frac{2|x-2| + 1}{x} = \frac{2(2-x) + 1}{x} = \frac{4 - 2x + 1}{x} = \frac{5 - 2x}{x} = \frac{5}{x} - 2 \] Bây giờ, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên các khoảng \( [1, 2] \) và \( [2, 5] \): \[ I = \int_{1}^{2} \left( \frac{5}{x} - 2 \right) \, dx + \int_{2}^{5} \left( 2 - \frac{3}{x} \right) \, dx \] Tính từng phần tích phân: 1. Phần từ 1 đến 2: \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{5}{x} - 2 \right) \, dx = \int_{1}^{2} \frac{5}{x} \, dx - \int_{1}^{2} 2 \, dx \] \[ = 5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx - 2 \int_{1}^{2} 1 \, dx \] \[ = 5 [\ln x]_{1}^{2} - 2 [x]_{1}^{2} \] \[ = 5 (\ln 2 - \ln 1) - 2 (2 - 1) \] \[ = 5 \ln 2 - 2 \] 2. Phần từ 2 đến 5: \[ \int_{2}^{5} \left( 2 - \frac{3}{x} \right) \, dx = \int_{2}^{5} 2 \, dx - \int_{2}^{5} \frac{3}{x} \, dx \] \[ = 2 \int_{2}^{5} 1 \, dx - 3 \int_{2}^{5} \frac{1}{x} \, dx \] \[ = 2 [x]_{2}^{5} - 3 [\ln x]_{2}^{5} \] \[ = 2 (5 - 2) - 3 (\ln 5 - \ln 2) \] \[ = 2 \cdot 3 - 3 \ln 5 + 3 \ln 2 \] \[ = 6 - 3 \ln 5 + 3 \ln 2 \] Cộng lại hai phần tích phân: \[ I = (5 \ln 2 - 2) + (6 - 3 \ln 5 + 3 \ln 2) \] \[ = 5 \ln 2 + 3 \ln 2 - 3 \ln 5 + 6 - 2 \] \[ = 8 \ln 2 - 3 \ln 5 + 4 \] So sánh với \( I = 4 + a \ln 2 + b \ln 5 \): \[ 4 + 8 \ln 2 - 3 \ln 5 = 4 + a \ln 2 + b \ln 5 \] Do đó: \[ a = 8, \quad b = -3 \] Tính \( S = a - b \): \[ S = 8 - (-3) = 8 + 3 = 11 \] Đáp án đúng là: B. \( S = 11 \). Câu 42. Để tính $I = \int^2_0 [2f(x) + 3g(x)] dx$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để biến đổi biểu thức này thành các tích phân đã biết. Bước 1: Ta có hai tích phân đã biết: \[ \int^2_0 [f(x) + x] dx = 6 \] \[ \int^2_0 [3f(x) - g(x)] dx = 10 \] Bước 2: Ta sẽ nhân các tích phân này với các hằng số thích hợp để dễ dàng biến đổi về dạng cần tìm. Nhân tích phân thứ nhất với 2: \[ 2 \int^2_0 [f(x) + x] dx = 2 \times 6 = 12 \] \[ \Rightarrow \int^2_0 [2f(x) + 2x] dx = 12 \] Nhân tích phân thứ hai với 3: \[ 3 \int^2_0 [3f(x) - g(x)] dx = 3 \times 10 = 30 \] \[ \Rightarrow \int^2_0 [9f(x) - 3g(x)] dx = 30 \] Bước 3: Ta cần tìm $\int^2_0 [2f(x) + 3g(x)] dx$. Để làm điều này, ta sẽ kết hợp các tích phân trên sao cho các thành phần của chúng có thể bù trừ lẫn nhau. Ta thấy rằng: \[ \int^2_0 [2f(x) + 3g(x)] dx = \int^2_0 [2f(x) + 2x] dx + \int^2_0 [-2x + 3g(x)] dx \] Từ đây, ta cần tìm $\int^2_0 [-2x + 3g(x)] dx$. Ta có thể sử dụng tích phân thứ hai đã nhân với 3: \[ \int^2_0 [9f(x) - 3g(x)] dx = 30 \] Ta cần bù trừ phần $9f(x)$ từ tích phân này: \[ \int^2_0 [9f(x) - 3g(x)] dx - \int^2_0 [7f(x)] dx = 30 - \int^2_0 [7f(x)] dx \] Tuy nhiên, ta có thể sử dụng trực tiếp: \[ \int^2_0 [2f(x) + 3g(x)] dx = \int^2_0 [2f(x) + 2x] dx + \int^2_0 [-2x + 3g(x)] dx \] Ta thấy rằng: \[ \int^2_0 [2f(x) + 3g(x)] dx = 12 + \left(30 - \int^2_0 [9f(x) - 3g(x)] dx\right) \] Do đó: \[ \int^2_0 [2f(x) + 3g(x)] dx = 12 + (30 - 30) = 12 \] Vậy đáp án đúng là: A. $I = 12.$