giải giúp em với ạ

Câu 17. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số \( h(t) \) từ đạo hàm \( h'(t) \). 2. Xác định các hằng số \( a \) và \( b \) bằng cách sử dụng các điều kiện ban đầu. 3. Tính thể tích nước sau 20 giây. Bước 1: Tìm hàm số \( h(t) \) Ta có: \[ h'(t) = 3at^2 + bt \] Tích phân hai vế để tìm \( h(t) \): \[ h(t) = \int (3at^2 + bt) \, dt \] \[ h(t) = at^3 + \frac{b}{2}t^2 + C \] Ban đầu bể không có nước, tức là \( h(0) = 0 \). Do đó: \[ h(0) = a(0)^3 + \frac{b}{2}(0)^2 + C = 0 \] \[ C = 0 \] Vậy hàm số \( h(t) \) là: \[ h(t) = at^3 + \frac{b}{2}t^2 \] Bước 2: Xác định các hằng số \( a \) và \( b \) Sau 5 giây, thể tích nước trong bể là 150 m³: \[ h(5) = a(5)^3 + \frac{b}{2}(5)^2 = 150 \] \[ 125a + \frac{25b}{2} = 150 \] \[ 250a + 25b = 300 \quad \text{(nhân cả hai vế với 2)} \] \[ 10a + b = 12 \quad \text{(chia cả hai vế cho 25)} \quad \text{(1)} \] Sau 10 giây, thể tích nước trong bể vẫn là 150 m³: \[ h(10) = a(10)^3 + \frac{b}{2}(10)^2 = 150 \] \[ 1000a + 50b = 150 \quad \text{(nhân cả hai vế với 2)} \] \[ 20a + b = 3 \quad \text{(chia cả hai vế cho 50)} \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ 10a + b = 12 \] \[ 20a + b = 3 \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (10a + b) - (20a + b) = 12 - 3 \] \[ -10a = 9 \] \[ a = -\frac{9}{10} \] Thay \( a = -\frac{9}{10} \) vào phương trình (1): \[ 10 \left(-\frac{9}{10}\right) + b = 12 \] \[ -9 + b = 12 \] \[ b = 21 \] Bước 3: Tính thể tích nước sau 20 giây Thay \( a = -\frac{9}{10} \) và \( b = 21 \) vào hàm số \( h(t) \): \[ h(t) = -\frac{9}{10}t^3 + \frac{21}{2}t^2 \] Tính \( h(20) \): \[ h(20) = -\frac{9}{10}(20)^3 + \frac{21}{2}(20)^2 \] \[ h(20) = -\frac{9}{10}(8000) + \frac{21}{2}(400) \] \[ h(20) = -7200 + 4200 \] \[ h(20) = -3000 \] Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là 3000 m³ (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 3000 m³. Câu 18. Để tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm A có tọa độ (5, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (0, 2, 0). - Điểm C có tọa độ (0, 0, 4). - Điểm M là trung điểm của OB, do đó tọa độ của M là $\left(0, \frac{2}{2}, 0\right) = (0, 1, 0)$. - Điểm N là trung điểm của OC, do đó tọa độ của N là $\left(0, 0, \frac{4}{2}\right) = (0, 0, 2)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (AMN): - Vectơ $\overrightarrow{AM} = (0 - 5, 1 - 0, 0 - 0) = (-5, 1, 0)$. - Vectơ $\overrightarrow{AN} = (0 - 5, 0 - 0, 2 - 0) = (-5, 0, 2)$. Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (AMN) là tích vector của $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AN}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -5 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (-5 \cdot 2 - 0 \cdot -5)\mathbf{j} + (-5 \cdot 0 - 1 \cdot -5)\mathbf{k} = (2, 10, 5) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng (AMN): Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. Thay tọa độ của điểm A vào phương trình: \[ 2(x - 5) + 10(y - 0) + 5(z - 0) = 0 \implies 2x + 10y + 5z - 10 = 0 \] 4. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN): Khoảng cách từ điểm $(x_1, y_1, z_1)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|2(0) + 10(2) + 5(0) - 10|}{\sqrt{2^2 + 10^2 + 5^2}} = \frac{|20 - 10|}{\sqrt{4 + 100 + 25}} = \frac{10}{\sqrt{129}} \approx 0.88 \] Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN) là khoảng 0.88 (đơn vị). Câu 19. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(2;-2;3)$ và vuông góc với đường thẳng $d$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Đường thẳng $d$ có phương hướng được xác định bởi vectơ $\vec{u} = (3, 2, -1)$. - Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng $d$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) cũng là vectơ $\vec{n} = (3, 2, -1)$. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(2, -2, 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3, 2, -1)$ có dạng: \[ 3(x - 2) + 2(y + 2) - 1(z - 3) = 0 \] - Rút gọn phương trình trên: \[ 3x - 6 + 2y + 4 - z + 3 = 0 \] \[ 3x + 2y - z + 1 = 0 \] 3. Tìm giá trị của A, B, C, D: - So sánh phương trình trên với dạng tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$, ta có: \[ A = 3, \quad B = 2, \quad C = -1, \quad D = 1 \] 4. Tính tổng A + B + C + D: \[ A + B + C + D = 3 + 2 - 1 + 1 = 5 \] Vậy, A + B + C + D = 5. Đáp số: 5 Câu 20. Để tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra từ hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \tan x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = \frac{\pi}{4} \) khi quay xung quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích bề mặt quay: - Hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \tan x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = \frac{\pi}{4} \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay: - Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay xung quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong đó, \( f(x) = \tan x \), \( a = 0 \), và \( b = \frac{\pi}{4} \). 3. Tính tích phân: - Ta cần tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 \, dx \] - Biến đổi \( (\tan x)^2 \): \[ (\tan x)^2 = \sec^2 x - 1 \] - Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx \] 4. Tính từng phần tích phân: - Tính tích phân của \( \sec^2 x \): \[ \int \sec^2 x \, dx = \tan x \] - Tính tích phân của \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \] - Kết hợp lại: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx = \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \] 5. Thay cận vào biểu thức: - Thay \( x = \frac{\pi}{4} \) và \( x = 0 \): \[ \left[ \tan x - x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left( \tan \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) - \left( \tan 0 - 0 \right) \] \[ = (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4} \] 6. Nhân với \( \pi \) để hoàn thành thể tích: - Thể tích \( V \) là: \[ V = \pi \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \] \[ V = \pi - \frac{\pi^2}{4} \] 7. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: - Tính toán: \[ \pi \approx 3.14159 \] \[ \frac{\pi^2}{4} \approx \frac{(3.14159)^2}{4} \approx \frac{9.8696}{4} \approx 2.4674 \] \[ V \approx 3.14159 - 2.4674 \approx 0.67419 \] - Làm tròn đến hàng phần mười: \[ V \approx 0.7 \] Đáp số: \[ V \approx 0.7 \] Câu 21. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích hình cánh bướm. 2. Tính diện tích phần tô đậm. 3. Tính giá tiền để thêu phần tô đậm. Bước 1: Tính diện tích hình cánh bướm Hình cánh bướm được tạo thành từ hai hình tam giác cân \(ABC\) và \(ADC\). Diện tích của mỗi hình tam giác cân có thể tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \] Vì \(AB = 4 \text{ cm}\) và \(BC = 8 \text{ cm}\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 = 16 \text{ cm}^2 \] Diện tích hình cánh bướm là: \[ S_{\text{cánh bướm}} = 2 \times S_{ABC} = 2 \times 16 = 32 \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích phần tô đậm Phần tô đậm chiếm một nửa diện tích của hình cánh bướm: \[ S_{\text{tô đậm}} = \frac{1}{2} \times S_{\text{cánh bướm}} = \frac{1}{2} \times 32 = 16 \text{ cm}^2 \] Bước 3: Tính giá tiền để thêu phần tô đậm Giá thành để thêu phần tô đậm là 3000 đ/dm². Chúng ta cần chuyển đổi diện tích từ cm² sang dm²: \[ 16 \text{ cm}^2 = 0.16 \text{ dm}^2 \] Giá tiền để thêu phần tô đậm: \[ \text{Giá tiền} = 0.16 \text{ dm}^2 \times 3000 \text{ đ/dm}^2 = 480 \text{ đ} \] Vậy, để phần tô đậm được thêu như vậy cần số tiền là 480 đ. Đáp số: 480 đ Câu 22. Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = 3x^2 - 2x - 3$. Nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int (3x^2 - 2x - 3) \, dx \] Ta tính từng phần: \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] \[ \int -2x \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \] \[ \int -3 \, dx = -3x \] Vậy: \[ F(x) = x^3 - x^2 - 3x + C \] Trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Biết rằng $F(2) = -2$, ta thay vào để tìm $C$: \[ F(2) = 2^3 - 2^2 - 3 \cdot 2 + C = -2 \] \[ 8 - 4 - 6 + C = -2 \] \[ -2 + C = -2 \] \[ C = 0 \] Vậy $F(x) = x^3 - x^2 - 3x$. Bây giờ, ta cần tìm $F(3)$: \[ F(3) = 3^3 - 3^2 - 3 \cdot 3 \] \[ F(3) = 27 - 9 - 9 \] \[ F(3) = 9 \] Vậy $F(3) = 9$. Đáp số: $F(3) = 9$.