giúp mình ví dụ 4.1 (2) (3) (4) với ạ

Ví dụ 4. Để tính các tích phân trên, ta cần xác định các khoảng trong đó biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối có cùng dấu và sau đó tách chúng thành các tích phân riêng biệt. 1. Tính \( A = \int_{-2}^{2} |x^2 - 1| \, dx \) Biểu thức \( x^2 - 1 \) có dấu âm khi \( -1 < x < 1 \) và dương khi \( x \leq -1 \) hoặc \( x \geq 1 \). Do đó: \[ A = \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx + \int_{-1}^{1} -(x^2 - 1) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-2}^{-1} = \left( \frac{-1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 2 \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} \] \[ \int_{-1}^{1} -(x^2 - 1) \, dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \] \[ \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3} \] Vậy: \[ A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4 \] 2. Tính \( B = \int_{-2}^{1} |x^3 + x^2 - 2x| \, dx \) Biểu thức \( x^3 + x^2 - 2x \) có dấu âm khi \( -2 < x < 0 \) hoặc \( 1 < x < 2 \) và dương khi \( 0 < x < 1 \). Do đó: \[ B = \int_{-2}^{0} -(x^3 + x^2 - 2x) \, dx + \int_{0}^{1} (x^3 + x^2 - 2x) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{-2}^{0} -(x^3 + x^2 - 2x) \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3 - x^2 + 2x) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( -4 - \frac{8}{3} + 4 \right) = \frac{8}{3} \] \[ \int_{0}^{1} (x^3 + x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right) - 0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 = -\frac{5}{12} \] Vậy: \[ B = \frac{8}{3} - \frac{5}{12} = \frac{32}{12} - \frac{5}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \] 3. Tính \( C = \int_{-1}^{2} |x^3 - 3x + 2| \, dx \) Biểu thức \( x^3 - 3x + 2 \) có dấu âm khi \( -1 < x < 1 \) và dương khi \( 1 < x < 2 \). Do đó: \[ C = \int_{-1}^{1} -(x^3 - 3x + 2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 - 3x + 2) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{-1}^{1} -(x^3 - 3x + 2) \, dx = \int_{-1}^{1} (-x^3 + 3x - 2) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{-1}^{1} = \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2 \right) = -\frac{3}{2} \] \[ \int_{1}^{2} (x^3 - 3x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{2} = \left( 4 - 6 + 4 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \] Vậy: \[ C = -\frac{3}{2} + \frac{5}{4} = -\frac{6}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \] 4. Tính \( D = \int_{-2}^{2} |x^4 - 3x^2 - 4| \, dx \) Biểu thức \( x^4 - 3x^2 - 4 \) có dấu âm khi \( -2 < x < -1 \) hoặc \( 1 < x < 2 \) và dương khi \( -1 < x < 1 \). Do đó: \[ D = \int_{-2}^{-1} -(x^4 - 3x^2 - 4) \, dx + \int_{-1}^{1} (x^4 - 3x^2 - 4) \, dx + \int_{1}^{2} -(x^4 - 3x^2 - 4) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{-2}^{-1} -(x^4 - 3x^2 - 4) \, dx = \int_{-2}^{-1} (-x^4 + 3x^2 + 4) \, dx = \left[ -\frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_{-2}^{-1} = \left( -\frac{1}{5} + 1 - 4 \right) - \left( -\frac{32}{5} - 8 - 8 \right) = -\frac{18}{5} + \frac{32}{5} + 16 = \frac{14}{5} + 16 = \frac{94}{5} \] \[ \int_{-1}^{1} (x^4 - 3x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} - x^3 - 4x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{5} - 1 - 4 \right) - \left( -\frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = -\frac{24}{5} \] \[ \int_{1}^{2} -(x^4 - 3x^2 - 4) \, dx = \int_{1}^{2} (-x^4 + 3x^2 + 4) \, dx = \left[ -\frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_{1}^{2} = \left( -\frac{32}{5} + 8 + 8 \right) - \left( -\frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = -\frac{32}{5} + 16 + \frac{1}{5} - 5 = -\frac{31}{5} + 11 = \frac{24}{5} \] Vậy: \[ D = \frac{94}{5} - \frac{24}{5} + \frac{24}{5} = \frac{94}{5} \] Đáp số: \[ A = 4, \quad B = \frac{9}{4}, \quad C = -\frac{1}{4}, \quad D = \frac{94}{5} \] Ví dụ 4. Để giải quyết các bài toán tích phân chứa giá trị tuyệt đối, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp đã nêu trong phần phương pháp giải. Cụ thể, chúng ta sẽ tách các đoạn tích phân dựa vào các điểm mà giá trị tuyệt đối thay đổi và tính từng đoạn riêng lẻ. Bài toán 1: Tính $A = \int_{-3}^{5} (|x + 2| - |x - 2|) \, dx$ Bước 1: Xác định các đoạn - $|x + 2|$ thay đổi tại $x = -2$ - $|x - 2|$ thay đổi tại $x = 2$ Do đó, chúng ta sẽ tách đoạn tích phân thành ba đoạn: $[-3, -2]$, $[-2, 2]$, và $[2, 5]$. Bước 2: Tính từng đoạn 1. Trên đoạn $[-3, -2]$: - $|x + 2| = -(x + 2)$ - $|x - 2| = -(x - 2)$ \[ A_1 = \int_{-3}^{-2} (-(x + 2) - (-(x - 2))) \, dx = \int_{-3}^{-2} (-x - 2 + x - 2) \, dx = \int_{-3}^{-2} -4 \, dx = -4(x) \Big|_{-3}^{-2} = -4(-2 + 3) = -4 \] 2. Trên đoạn $[-2, 2]$: - $|x + 2| = x + 2$ - $|x - 2| = -(x - 2)$ \[ A_2 = \int_{-2}^{2} ((x + 2) - (-(x - 2))) \, dx = \int_{-2}^{2} (x + 2 + x - 2) \, dx = \int_{-2}^{2} 2x \, dx = x^2 \Big|_{-2}^{2} = 2^2 - (-2)^2 = 0 \] 3. Trên đoạn $[2, 5]$: - $|x + 2| = x + 2$ - $|x - 2| = x - 2$ \[ A_3 = \int_{2}^{5} ((x + 2) - (x - 2)) \, dx = \int_{2}^{5} (x + 2 - x + 2) \, dx = \int_{2}^{5} 4 \, dx = 4x \Big|_{2}^{5} = 4(5 - 2) = 12 \] Bước 3: Cộng các kết quả \[ A = A_1 + A_2 + A_3 = -4 + 0 + 12 = 8 \] Bài toán 2: Tính $B = \int_{-1}^{2} (x + |1 - x| - |x + 2|) \, dx$ Bước 1: Xác định các đoạn - $|1 - x|$ thay đổi tại $x = 1$ - $|x + 2|$ thay đổi tại $x = -2$ Do đó, chúng ta sẽ tách đoạn tích phân thành hai đoạn: $[-1, 1]$ và $[1, 2]$. Bước 2: Tính từng đoạn 1. Trên đoạn $[-1, 1]$: - $|1 - x| = 1 - x$ - $|x + 2| = x + 2$ \[ B_1 = \int_{-1}^{1} (x + (1 - x) - (x + 2)) \, dx = \int_{-1}^{1} (x + 1 - x - x - 2) \, dx = \int_{-1}^{1} (-x - 1) \, dx = -\frac{x^2}{2} - x \Big|_{-1}^{1} = -\frac{1}{2} - 1 - \left(-\frac{1}{2} + 1\right) = -2 \] 2. Trên đoạn $[1, 2]$: - $|1 - x| = x - 1$ - $|x + 2| = x + 2$ \[ B_2 = \int_{1}^{2} (x + (x - 1) - (x + 2)) \, dx = \int_{1}^{2} (x + x - 1 - x - 2) \, dx = \int_{1}^{2} (x - 3) \, dx = \frac{x^2}{2} - 3x \Big|_{1}^{2} = \frac{4}{2} - 6 - \left(\frac{1}{2} - 3\right) = 2 - 6 - \frac{1}{2} + 3 = -\frac{3}{2} \] Bước 3: Cộng các kết quả \[ B = B_1 + B_2 = -2 - \frac{3}{2} = -\frac{7}{2} \] Bài toán 3: Tính $C = \int_{2}^{5} (|x - 2| + 1) \, dx$ Bước 1: Xác định các đoạn - $|x - 2|$ thay đổi tại $x = 2$ Do đó, chúng ta sẽ tách đoạn tích phân thành một đoạn duy nhất: $[2, 5]$. Bước 2: Tính đoạn - Trên đoạn $[2, 5]$: - $|x - 2| = x - 2$ \[ C = \int_{2}^{5} ((x - 2) + 1) \, dx = \int_{2}^{5} (x - 1) \, dx = \frac{x^2}{2} - x \Big|_{2}^{5} = \frac{25}{2} - 5 - \left(\frac{4}{2} - 2\right) = \frac{25}{2} - 5 - 2 + 2 = \frac{25}{2} - 5 = \frac{15}{2} \] Bài toán 4: Tính $D = \int \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 + x} \, dx$ Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức \[ x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) = x(x - 1)^2 \] \[ \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 + x} = \sqrt[3]{x(x - 1)^2} \] Bước 2: Tích phân \[ D = \int \sqrt[3]{x(x - 1)^2} \, dx \] Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến hoặc các phương pháp tích phân khác tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán. Kết luận - $A = 8$ - $B = -\frac{7}{2}$ - $C = \frac{15}{2}$ - $D = \int \sqrt[3]{x(x - 1)^2} \, dx$