Giúp mik vs

Câu 4. Để tính $I = \int [2g(x) - f(x)] dx$, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ I = \int [2g(x) - f(x)] dx = \int 2g(x) dx - \int f(x) dx \] Bước 2: Tính từng phần riêng lẻ: - Ta biết rằng $\int f(x) dx = F_1(x)$ - Ta cũng biết rằng $\int g(x) dx = F_2(x)$ Do đó: \[ \int 2g(x) dx = 2 \int g(x) dx = 2F_2(x) \] \[ \int f(x) dx = F_1(x) \] Bước 3: Kết hợp lại: \[ I = 2F_2(x) - F_1(x) + C \] Vậy đáp án đúng là: C. $2F_2(x) - F_1(x) + C$. Câu 5. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của \(5^x\) và sau đó xác định đạo hàm của nó. Bước 1: Tìm nguyên hàm của \(5^x\). Nguyên hàm của \(5^x\) là: \[ F(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + C \] Bước 2: Xác định đạo hàm của \(F(x)\). Đạo hàm của \(F(x)\) là: \[ F'(x) = \left( \frac{5^x}{\ln 5} + C \right)' = \frac{d}{dx}\left(\frac{5^x}{\ln 5}\right) + \frac{d}{dx}(C) \] \[ F'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx}(5^x) + 0 \] \[ F'(x) = \frac{1}{\ln 5} \cdot 5^x \ln 5 \] \[ F'(x) = 5^x \] Do đó, khẳng định đúng là: D. \(F'(x) = 5^x.\) Đáp án: D. \(F'(x) = 5^x.\) Câu 6. Để tính $\int x^4 dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$. Trong trường hợp này, $n = 4$. Do đó, ta có: \[ \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1}{5}x^5 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{5}x^5 + C$ Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sqrt{2x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm số cần tính nguyên hàm: \[ f(x) = \sqrt{2x - 1} \] Bước 2: Áp dụng phương pháp đổi biến để tính nguyên hàm. Đặt \( u = 2x - 1 \). Khi đó, \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 3: Thay đổi biến trong nguyên hàm: \[ \int \sqrt{2x - 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \] \[ = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm của \( \sqrt{u} \): \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{\frac{1}{2}} \, du \] \[ = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \] \[ = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \] Bước 5: Quay lại biến ban đầu: \[ \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right) + C \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x - 1)^{\frac{3}{2}} + C \] \[ = \frac{1}{3} (2x - 1)^{\frac{3}{2}} + C \] Bước 6: Viết kết quả cuối cùng: \[ \int \sqrt{2x - 1} \, dx = \frac{1}{3} (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $\int f(x) \, dx = \frac{1}{3} (2x - 1) \sqrt{2x - 1} + C$. Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos(3x) \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = 3x \). Khi đó, \( du = 3 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{du}{3} \). Bước 2: Thay đổi biến số trong tích phân. \[ \int \cos(3x) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} \] Bước 3: Tính tích phân theo biến số mới. \[ \int \cos(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du \] Bước 4: Tìm nguyên hàm của \( \cos(u) \). \[ \int \cos(u) \, du = \sin(u) + C \] Bước 5: Thay trở lại biến số ban đầu. \[ \frac{1}{3} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{3} \sin(u) + C = \frac{1}{3} \sin(3x) + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos(3x) \) là: \[ \int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: B. $\int \cos(3x) \, dx = \frac{\sin(3x)}{3} + C$. Câu 9 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( F(x) = e^{x^2} \), ta cần tìm hàm số \( f(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = e^{x^2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ \( e^{g(x)} \): \[ F'(x) = e^{x^2} \cdot (x^2)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2} \] Như vậy, đạo hàm của \( F(x) = e^{x^2} \) là: \[ F'(x) = 2x e^{x^2} \] Do đó, hàm số \( f(x) \) cần tìm là: \[ f(x) = 2x e^{x^2} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( f(x) = 2x e^{x^2} \) Đáp án: A. \( f(x) = 2x e^{x^2} \) Câu 10. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức hàm số: \[ f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x^2 + \frac{2}{x^2} = x^2 + 2x^{-2}. \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức đã rút gọn: - Nguyên hàm của $x^2$ là $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1$. - Nguyên hàm của $2x^{-2}$ là $\int 2x^{-2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2$. Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + 2x^{-2} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C, \] trong đó $C = C_1 + C_2$ là hằng số tích phân. Vậy, nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2}$ là: \[ \boxed{\frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C}. \]