Giúp mik đii

Câu 11. Để xác định khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định dựa trên các tính chất của nguyên hàm. A. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ - Đây là tính chất phân phối của nguyên hàm đối với tổng của hai hàm số. Khẳng định này đúng. B. $\int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx$ - Đây cũng là tính chất phân phối của nguyên hàm đối với hiệu của hai hàm số. Khẳng định này đúng. C. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx, \forall k \in \mathbb{R}$ - Đây là tính chất phân phối của nguyên hàm đối với tích của một hằng số và một hàm số. Khẳng định này đúng. D. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx, \forall k \in \mathbb{R}, k \neq 0$ - Khẳng định này giới hạn hằng số \(k\) không bằng 0. Tuy nhiên, tính chất phân phối của nguyên hàm vẫn đúng ngay cả khi \(k = 0\). Do đó, khẳng định này sai vì nó giới hạn thêm điều kiện \(k \neq 0\). Vậy khẳng định sai là: D. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx, \forall k \in \mathbb{R}, k \neq 0$ Câu 12. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] - Nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] - Nguyên hàm của hằng số 5: \[ \int 5 \, dx = 5x \] Bước 2: Cộng tất cả các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int (3x^2 + 2x + 5) \, dx = x^3 + x^2 + 5x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 2x + 5 \) là: \[ x^3 + x^2 + 5x + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( x^3 + x^2 + 5x + C \). Câu 13. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (x + 1)(x + 2) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân hai đa thức để đơn giản hóa biểu thức: \[ f(x) = (x + 1)(x + 2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong biểu thức \( x^2 + 3x + 2 \): - Nguyên hàm của \( x^2 \) là \( \frac{x^3}{3} \) - Nguyên hàm của \( 3x \) là \( \frac{3x^2}{2} \) - Nguyên hàm của \( 2 \) là \( 2x \) Bước 3: Gộp lại các nguyên hàm đã tìm được và thêm hằng số \( C \): \[ F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C \) Đáp án: A. \( F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 2x + C \) Câu 14. Để tìm một nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2x + e^x \) thỏa mãn \( F(0) = 2024 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_1 \] Nguyên hàm của \( e^x \) là: \[ \int e^x \, dx = e^x + C_2 \] Vậy, tổng nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = x^2 + e^x + C \] trong đó \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Bước 2: Áp dụng điều kiện \( F(0) = 2024 \) để xác định hằng số \( C \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = 0^2 + e^0 + C = 1 + C \] Theo đề bài, \( F(0) = 2024 \), vậy: \[ 1 + C = 2024 \] \[ C = 2024 - 1 \] \[ C = 2023 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = x^2 + e^x + 2023 \] Vậy, đáp án đúng là: A. \( F(x) = x^2 + e^x + 2023 \). Câu 15. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \cos x \) thỏa mãn \( F(0) = 1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \cos x \). Nguyên hàm của \( \cos x \) là: \[ F(x) = \sin x + C \] trong đó \( C \) là hằng số. Bước 2: Áp dụng điều kiện \( F(0) = 1 \) để xác định hằng số \( C \). Thay \( x = 0 \) vào \( F(x) \): \[ F(0) = \sin 0 + C = 0 + C = C \] Theo điều kiện \( F(0) = 1 \), ta có: \[ C = 1 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã xác định. Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) là: \[ F(x) = \sin x + 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = \sin x + 1 \). Câu 16. Để tìm vận tốc của vật sau 2 giây, ta cần biết vận tốc ban đầu và gia tốc của vật theo thời gian. Gia tốc của vật là \(a(t) = 3t^2 + t\). Vận tốc \(v(t)\) của vật là nguyên hàm của gia tốc \(a(t)\): \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (3t^2 + t) \, dt \] Ta tính nguyên hàm: \[ v(t) = \int 3t^2 \, dt + \int t \, dt \] \[ v(t) = 3 \int t^2 \, dt + \int t \, dt \] \[ v(t) = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C \] \[ v(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} + C \] Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s, tức là \(v(0) = 2\): \[ v(0) = 0^3 + \frac{0^2}{2} + C = 2 \] \[ C = 2 \] Vậy phương trình vận tốc của vật là: \[ v(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} + 2 \] Bây giờ, ta tìm vận tốc của vật sau 2 giây, tức là \(v(2)\): \[ v(2) = 2^3 + \frac{2^2}{2} + 2 \] \[ v(2) = 8 + \frac{4}{2} + 2 \] \[ v(2) = 8 + 2 + 2 \] \[ v(2) = 12 \] Vậy vận tốc của vật sau 2 giây là 12 m/s. Đáp án đúng là: B. 12 m/s. Câu 17. Để tìm độ cao lớn nhất của viên đạn, ta cần xác định thời điểm mà vận tốc của viên đạn bằng 0 (vì khi đó viên đạn đạt đỉnh cao nhất trước khi rơi xuống). Bước 1: Xác định thời điểm vận tốc bằng 0. \[ v(t) = 25 - 9,8t \] Đặt \( v(t) = 0 \): \[ 25 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 25 \] \[ t = \frac{25}{9,8} = \frac{250}{98} = \frac{125}{49} \text{ (giây)} \] Bước 2: Tính độ cao của viên đạn tại thời điểm \( t = \frac{125}{49} \) giây. Ta biết rằng vận tốc ban đầu \( v_0 = 25 \text{ m/s} \) và gia tốc trọng trường \( g = 9,8 \text{ m/s}^2 \). Độ cao \( h(t) \) của viên đạn theo thời gian \( t \) được tính bằng công thức: \[ h(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \] Thay \( v_0 = 25 \text{ m/s} \), \( g = 9,8 \text{ m/s}^2 \), và \( t = \frac{125}{49} \text{ giây} \): \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = 25 \cdot \frac{125}{49} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \left(\frac{125}{49}\right)^2 \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{49} - \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot \frac{15625}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{49} - \frac{1}{2} \cdot \frac{98}{10} \cdot \frac{15625}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{49} - \frac{1}{2} \cdot \frac{98 \times 15625}{10 \times 2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{49} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1525000}{24010} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{49} - \frac{1}{2} \cdot \frac{152500}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{49} - \frac{76250}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125 \times 49}{49 \times 49} - \frac{76250}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{152500}{2401} - \frac{76250}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{76250}{2401} \] \[ h\left(\frac{125}{49}\right) = \frac{3125}{98} \] Vậy độ cao lớn nhất của viên đạn là \(\frac{3125}{98}\) mét. Đáp án đúng là: B. $\frac{3125}{98}$. Câu 18. (a) Ta có $F'(x) = x^2 \neq f(x)$. Vậy $F(x)$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. (b) Ta có $F'(x) = 2\cos x + 3\sin x \neq f(x)$. Vậy $F(x)$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. (c) Ta có $F'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \neq f(x)$. Vậy $F(x)$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. (d) Ta có $F'(x) = (8x - 2)\sqrt{2x - 3} + (4x^2 - 2x + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2x - 3}} = \frac{(8x - 2)(2x - 3) + 4x^2 - 2x + 1}{\sqrt{2x - 3}} = \frac{20x^2 - 30x + 7}{\sqrt{2x - 3}} = f(x)$. Vậy $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(\frac{3}{2}; +\infty)$.