Xác định dạng của tam giác ABC biết S = p(p – a) với BC = a, AC = b, AB = c, S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác.

Ta có: \[ S = p(p - a) \] Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính theo công thức Heron: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Bằng cách so sánh hai biểu thức này, ta có: \[ p(p - a) = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Để loại bỏ căn bậc hai, ta bình phương cả hai vế: \[ [p(p - a)]^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) \] Chia cả hai vế cho \( p(p - a) \) (với điều kiện \( p \neq 0 \) và \( p \neq a \)): \[ p(p - a) = (p - b)(p - c) \] Phát triển các biểu thức ở cả hai vế: \[ p^2 - pa = p^2 - pb - pc + bc \] Trừ \( p^2 \) từ cả hai vế: \[ -pa = -pb - pc + bc \] Chuyển các hạng tử liên quan đến \( p \) sang cùng một vế: \[ -pa + pb + pc = bc \] Nhóm các hạng tử liên quan đến \( p \): \[ p(b + c - a) = bc \] Do đó: \[ p = \frac{bc}{b + c - a} \] Từ đây, ta thấy rằng \( p \) phải thỏa mãn điều kiện trên. Để kiểm tra xem tam giác ABC có dạng gì, ta sẽ xem xét các trường hợp đặc biệt: 1. Nếu \( b = c \), thì: \[ p = \frac{bc}{b + c - a} = \frac{b^2}{2b - a} \] Điều này cho thấy tam giác ABC có thể là tam giác cân tại đỉnh A. 2. Nếu \( a = b = c \), thì: \[ p = \frac{bc}{b + c - a} = \frac{a^2}{2a - a} = a \] Điều này cho thấy tam giác ABC là tam giác đều. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, ta thấy rằng tam giác ABC có thể là tam giác cân hoặc tam giác đều tùy thuộc vào các giá trị của \( a, b, \) và \( c \). Kết luận: Tam giác ABC có thể là tam giác cân hoặc tam giác đều.