định lí viet

Định lý Viét là một định lý quan trọng trong đại số, liên quan đến mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc hai và các hệ số của phương trình đó. Cụ thể, nếu phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \), thì theo định lý Viét, ta có: 1. Tổng của hai nghiệm: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] 2. Tích của hai nghiệm: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để chứng minh định lý này. Bước 1: Xác định các nghiệm của phương trình bậc hai Phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Bước 2: Tính tổng của hai nghiệm Tổng của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là: \[ x_1 + x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) + \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \] Khi cộng hai phân số này lại, ta có: \[ x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} \] \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] Bước 3: Tính tích của hai nghiệm Tích của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là: \[ x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \] Khi nhân hai phân số này lại, ta có: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{b^2 - 4ac})(-b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{(2a)^2} \] Áp dụng hằng đẳng thức \( (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \), ta có: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{4ac}{4a^2} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] Kết luận Như vậy, ta đã chứng minh được rằng: 1. Tổng của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] 2. Tích của hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) là: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \] Đây chính là định lý Viét.