giúp vơiiiiiiiiiiiiii an

Để tính các tích phân đã cho, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tích phân cơ bản và các công thức tích phân đã học. Dưới đây là các bước chi tiết cho từng tích phân:

a) $\int^{2\pi}_0(2x + \cos x) \, dx$

Ta tách tích phân thành hai phần:
\[
\int^{2\pi}_0(2x + \cos x) \, dx = \int^{2\pi}_0 2x \, dx + \int^{2\pi}_0 \cos x \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^{2\pi}_0 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^{2\pi}_0 = [x^2]^{2\pi}_0 = (2\pi)^2 - 0 = 4\pi^2
\]
\[
\int^{2\pi}_0 \cos x \, dx = [\sin x]^{2\pi}_0 = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0
\]

Vậy:
\[
\int^{2\pi}_0(2x + \cos x) \, dx = 4\pi^2 + 0 = 4\pi^2
\]

b) $\int^2_1(3^x - \frac{3}{2}) \, dx$

Ta tách tích phân thành hai phần:
\[
\int^2_1(3^x - \frac{3}{2}) \, dx = \int^2_1 3^x \, dx - \int^2_1 \frac{3}{2} \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^2_1 3^x \, dx = \left[ \frac{3^x}{\ln 3} \right]^2_1 = \frac{3^2}{\ln 3} - \frac{3^1}{\ln 3} = \frac{9}{\ln 3} - \frac{3}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3}
\]
\[
\int^2_1 \frac{3}{2} \, dx = \frac{3}{2} \left[ x \right]^2_1 = \frac{3}{2}(2 - 1) = \frac{3}{2}
\]

Vậy:
\[
\int^2_1(3^x - \frac{3}{2}) \, dx = \frac{6}{\ln 3} - \frac{3}{2}
\]

c) $\int^1_\pi (\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}) \, dx$

Ta nhận thấy rằng:
\[
\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \quad \text{và} \quad \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x
\]

Do đó:
\[
\int^1_\pi (\sec^2 x - \csc^2 x) \, dx = \int^1_\pi \sec^2 x \, dx - \int^1_\pi \csc^2 x \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^1_\pi \sec^2 x \, dx = [\tan x]^1_\pi = \tan 1 - \tan \pi = \tan 1 - 0 = \tan 1
\]
\[
\int^1_\pi \csc^2 x \, dx = [-\cot x]^1_\pi = -\cot 1 + \cot \pi = -\cot 1 + 0 = -\cot 1
\]

Vậy:
\[
\int^1_\pi (\sec^2 x - \csc^2 x) \, dx = \tan 1 + \cot 1
\]

d) $\int^3_{10} |2x - 3| \, dx$

Ta nhận thấy rằng $2x - 3$ là một hàm tuyến tính và nó đổi dấu tại $x = \frac{3}{2}$. Do đó, ta chia tích phân thành hai phần:
\[
\int^3_{10} |2x - 3| \, dx = \int^3_{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx + \int^{\frac{3}{2}}_{10} -(2x - 3) \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^3_{\frac{3}{2}} (2x - 3) \, dx = \left[ x^2 - 3x \right]^3_{\frac{3}{2}} = (3^2 - 3 \cdot 3) - \left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} \right) = 0 - \left( \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \right) = \frac{9}{4}
\]
\[
\int^{\frac{3}{2}}_{10} -(2x - 3) \, dx = -\left[ x^2 - 3x \right]^{\frac{3}{2}}_{10} = -\left( \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} - (10^2 - 3 \cdot 10) \right) = -\left( \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - (100 - 30) \right) = -\left( \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 70 \right) = -\left( \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - 70 \right) = -\left( -\frac{9}{4} - 70 \right) = \frac{9}{4} + 70 = \frac{289}{4}
\]

Vậy:
\[
\int^3_{10} |2x - 3| \, dx = \frac{9}{4} + \frac{289}{4} = \frac{298}{4} = 74.5
\]

e) $\int^3_0 (3x - 1)^2 \, dx$

Ta mở rộng biểu thức trong tích phân:
\[
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1
\]

Do đó:
\[
\int^3_0 (3x - 1)^2 \, dx = \int^3_0 (9x^2 - 6x + 1) \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^3_0 9x^2 \, dx = 9 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^3_0 = 9 \left[ x^3 \right]^3_0 = 9 \left( 3^3 - 0 \right) = 9 \cdot 27 = 243
\]
\[
\int^3_0 -6x \, dx = -6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^3_0 = -6 \left[ x^2 \right]^3_0 = -6 \left( 3^2 - 0 \right) = -6 \cdot 9 = -54
\]
\[
\int^3_0 1 \, dx = [x]^3_0 = 3 - 0 = 3
\]

Vậy:
\[
\int^3_0 (3x - 1)^2 \, dx = 243 - 54 + 3 = 192
\]

f) $\int^1_0 (1 + \sin x) \, dx$

Ta tách tích phân thành hai phần:
\[
\int^1_0 (1 + \sin x) \, dx = \int^1_0 1 \, dx + \int^1_0 \sin x \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^1_0 1 \, dx = [x]^1_0 = 1 - 0 = 1
\]
\[
\int^1_0 \sin x \, dx = [-\cos x]^1_0 = -\cos 1 + \cos 0 = -\cos 1 + 1
\]

Vậy:
\[
\int^1_0 (1 + \sin x) \, dx = 1 + (-\cos 1 + 1) = 2 - \cos 1
\]

g) $\int^1_0 (e^{2x} + 3x^2) \, dx$

Ta tách tích phân thành hai phần:
\[
\int^1_0 (e^{2x} + 3x^2) \, dx = \int^1_0 e^{2x} \, dx + \int^1_0 3x^2 \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^1_0 e^{2x} \, dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]^1_0 = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 1}{2}
\]
\[
\int^1_0 3x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = 3 \left[ x^3 \right]^1_0 = 3 \left( 1^3 - 0 \right) = 3
\]

Vậy:
\[
\int^1_0 (e^{2x} + 3x^2) \, dx = \frac{e^2 - 1}{2} + 3 = \frac{e^2 - 1 + 6}{2} = \frac{e^2 + 5}{2}
\]

i) $\int^2_{-1} |2x + 1| \, dx$

Ta nhận thấy rằng $2x + 1$ là một hàm tuyến tính và nó đổi dấu tại $x = -\frac{1}{2}$. Do đó, ta chia tích phân thành hai phần:
\[
\int^2_{-1} |2x + 1| \, dx = \int^2_{-\frac{1}{2}} (2x + 1) \, dx + \int^{-\frac{1}{2}}_{-1} -(2x + 1) \, dx
\]

Tính từng phần:
\[
\int^2_{-\frac{1}{2}} (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]^2_{-\frac{1}{2}} = (2^2 + 2) - \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right) \right) = 6 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = 6 - \left( -\frac{1}{4} \right) = 6 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4}
\]
\[
\int^{-\frac{1}{2}}_{-1} -(2x + 1) \, dx = -\left[ x^2 + x \right]^{-\frac{1}{2}}_{-1} = -\left( \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right) - ((-1)^2 + (-1)) \right) = -\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - (1 - 1) \right) = -\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = -\left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}
\]

Vậy:
\[
\int^2_{-1} |2x + 1| \, dx = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} = 6.5
\]

Đáp số:
\[
a) 4\pi^2
\]
\[
b) \frac{6}{\ln 3} - \frac{3}{2}
\]
\[
c) \tan 1 + \cot 1
\]
\[
d) 74.5
\]
\[
e) 192
\]
\[
f) 2 - \cos 1
\]
\[
g) \frac{e^2 + 5}{2}
\]
\[
i) 6.5
\]