Giải giúp em vs ạ Câu 65. Cho hàm số $f(x).$ Biết $f(0)=1$ và $f^\prime(x)=\frac{x^2}3,~\forall x\in\Box,$ khi đó $\int^3f(x)dx$ dx bằng

Question

Accepted Answer

Câu 65.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) $.
2. Xác định giá trị của hằng số tích phân bằng điều kiện ban đầu $ f(0) = 1 $.
3. Tính tích phân $ \int_0^3 f(x) \, dx $.

Bước 1: Tìm hàm số $ f(x) $

Biết rằng $ f'(x) = \frac{x^2}{3} $, ta có thể tìm $ f(x) $ bằng cách tích phân $ f'(x) $:

$$ f(x) = \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{9} + C $$

Bước 2: Xác định giá trị của hằng số tích phân $ C $

Sử dụng điều kiện ban đầu $ f(0) = 1 $:

$$ f(0) = \frac{0^3}{9} + C = 1 $$
$$ C = 1 $$

Do đó, hàm số $ f(x) $ là:

$$ f(x) = \frac{x^3}{9} + 1 $$

Bước 3: Tính tích phân $ \int_0^3 f(x) \, dx $

$$ \int_0^3 f(x) \, dx = \int_0^3 \left( \frac{x^3}{9} + 1 \right) \, dx $$

Tính từng phần:

$$ \int_0^3 \frac{x^3}{9} \, dx = \frac{1}{9} \int_0^3 x^3 \, dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = \frac{1}{9} \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{81}{4} = \frac{9}{4} $$

$$ \int_0^3 1 \, dx = [x]_0^3 = 3 - 0 = 3 $$

Vậy:

$$ \int_0^3 f(x) \, dx = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4} $$

Đáp số: $ \frac{21}{4} $