Giải giúp em vs ạ

Câu 65. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm hàm số \( f(x) \) từ đạo hàm \( f'(x) \). 2. Xác định giá trị của hằng số tích phân bằng điều kiện ban đầu \( f(0) = 1 \). 3. Tính tích phân \( \int_0^3 f(x) \, dx \). Bước 1: Tìm hàm số \( f(x) \) Biết rằng \( f'(x) = \frac{x^2}{3} \), ta có thể tìm \( f(x) \) bằng cách tích phân \( f'(x) \): \[ f(x) = \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{9} + C \] Bước 2: Xác định giá trị của hằng số tích phân \( C \) Sử dụng điều kiện ban đầu \( f(0) = 1 \): \[ f(0) = \frac{0^3}{9} + C = 1 \] \[ C = 1 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) là: \[ f(x) = \frac{x^3}{9} + 1 \] Bước 3: Tính tích phân \( \int_0^3 f(x) \, dx \) \[ \int_0^3 f(x) \, dx = \int_0^3 \left( \frac{x^3}{9} + 1 \right) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_0^3 \frac{x^3}{9} \, dx = \frac{1}{9} \int_0^3 x^3 \, dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^3 = \frac{1}{9} \left( \frac{3^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{81}{4} = \frac{9}{4} \] \[ \int_0^3 1 \, dx = [x]_0^3 = 3 - 0 = 3 \] Vậy: \[ \int_0^3 f(x) \, dx = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4} \] Đáp số: \( \frac{21}{4} \)