cuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

Câu 1: Trước tiên, ta cần tìm diện tích đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Diện tích đáy là diện tích tam giác ABC. Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{BAC}) \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = 12\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta cần tìm độ dài cạnh BC. Ta sử dụng công thức余弦定理来找到边BC的长度。 \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC}) \] \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ BC^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ BC^2 = 100 - 48 \] \[ BC^2 = 52 \] \[ BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] 接下来，我们需要找到点A到直线BC的距离。我们可以使用三角形面积公式来找到这个距离。设点A到直线BC的距离为h。 \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \] \[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot h \] \[ 12\sqrt{3} = \sqrt{13} \cdot h \] \[ h = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \] \[ h = \frac{12\sqrt{39}}{13} \] 最后，由于这是一个直棱柱，AA'和BC之间的距离就是点A到直线BC的距离。 \[ d(AA', BC) = \frac{12\sqrt{39}}{13} \approx 6.2 \] 因此，AA'和BC之间的距离约为6.2（保留一位小数）。 答案：AA'和BC之间的距离约为6.2。 Câu 2: Chi phí trung bình cho $1~m^2$ nhôm chống gỉ là 420 000 đồng. Với ngân sách không vượt quá 7 560 000 đồng, diện tích tối đa mà công ty có thể mua là: \[ S_{max} = \frac{7 560 000}{420 000} = 18~m^2 \] Diện tích toàn phần của bể chứa hình trụ là: \[ S = 2\pi r^2 + 2\pi rh \] Trong đó, $r$ là bán kính đáy và $h$ là chiều cao của bể chứa. Ta có: \[ 2\pi r^2 + 2\pi rh \leq 18 \] \[ \pi r(r + h) \leq 9 \] \[ r(r + h) \leq \frac{9}{\pi} \] Thể tích của bể chứa hình trụ là: \[ V = \pi r^2 h \] Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích $V$, ta sử dụng phương pháp Lagrange. Xét hàm số: \[ f(r, h) = \pi r^2 h \] với ràng buộc: \[ g(r, h) = r(r + h) - \frac{9}{\pi} = 0 \] Áp dụng phương pháp Lagrange, ta có: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] \[ (2\pi rh, \pi r^2) = \lambda (2r + h, r) \] Từ đó, ta có hai phương trình: \[ 2\pi rh = \lambda (2r + h) \] \[ \pi r^2 = \lambda r \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ \lambda = \pi r \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2\pi rh = \pi r (2r + h) \] \[ 2h = 2r + h \] \[ h = 2r \] Thay $h = 2r$ vào ràng buộc: \[ r(r + 2r) = \frac{9}{\pi} \] \[ 3r^2 = \frac{9}{\pi} \] \[ r^2 = \frac{3}{\pi} \] \[ r = \sqrt{\frac{3}{\pi}} \] Tính $h$: \[ h = 2r = 2\sqrt{\frac{3}{\pi}} \] Thể tích lớn nhất của bể chứa là: \[ V_{max} = \pi r^2 h = \pi \left(\sqrt{\frac{3}{\pi}}\right)^2 \cdot 2\sqrt{\frac{3}{\pi}} = \pi \cdot \frac{3}{\pi} \cdot 2\sqrt{\frac{3}{\pi}} = 6\sqrt{\frac{3}{\pi}} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ V_{max} \approx 6 \times 0.977 = 5.862 \approx 5.86~m^3 \] Đáp số: Thể tích lớn nhất của bể chứa là 5.86 m³. Câu 3: Giả sử giá bán mỗi chiếc khăn tăng thêm \( x \times 1000 \) đồng, tức là giá mới là \( 30 + x \) nghìn đồng. Số lượng khăn bán được mỗi tháng sẽ giảm đi \( x \times 100 \) chiếc, tức là số khăn bán được mỗi tháng là \( 3000 - 100x \) chiếc. Lợi nhuận từ việc bán khăn mặt mỗi tháng là: \[ N(x) = (30 + x - 18)(3000 - 100x) \] \[ N(x) = (12 + x)(3000 - 100x) \] \[ N(x) = 36000 + 3000x - 1200x - 100x^2 \] \[ N(x) = -100x^2 + 1800x + 36000 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( N(x) \), ta tính đạo hàm của \( N(x) \): \[ N'(x) = -200x + 1800 \] Đặt \( N'(x) = 0 \) để tìm giá trị của \( x \): \[ -200x + 1800 = 0 \] \[ 200x = 1800 \] \[ x = 9 \] Vậy giá bán mỗi chiếc khăn để đạt lợi nhuận lớn nhất là: \[ 30 + 9 = 39 \text{ nghìn đồng} \] Đáp số: 39 nghìn đồng. Câu 4: Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp đều S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. - Cạnh bên SA = SB = SC = SD = $a\sqrt6$. - Gọi H là trung điểm của BC, ta có SH vuông góc với mặt đáy ABCD tại H. Ta cần tính góc phẳng nhị diện [S, BC, O]. 1. Xác định góc phẳng nhị diện: - Góc phẳng nhị diện [S, BC, O] là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (OBC). - Ta hạ đường cao từ O vuông góc với BC tại I, và từ S hạ đường cao xuống mặt đáy tại H. 2. Tính khoảng cách từ O đến BC: - Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên O nằm chính giữa AC và BD. - Ta có OB = OC = $\frac{a\sqrt2}{2}$. - Ta tính khoảng cách từ O đến BC bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong tam giác vuông: \[OI = \frac{OB \times OC}{BC} = \frac{\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2}{a} = \frac{a^2}{2a} = \frac{a}{2}\] 3. Tính khoảng cách từ S đến BC: - Ta biết SH vuông góc với mặt đáy ABCD, do đó SH cũng vuông góc với BC. - Ta tính SH bằng cách sử dụng Pythagoras trong tam giác SAB: \[SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{(a\sqrt6)^2 - \left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{6a^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{11a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{22}}{2}\] 4. Tính góc phẳng nhị diện: - Góc phẳng nhị diện [S, BC, O] là góc giữa hai đường thẳng SH và OH. - Ta tính tan của góc này bằng cách sử dụng tỉ số của hai khoảng cách đã tính: \[\tan(\theta) = \frac{SH}{OH} = \frac{\frac{a\sqrt{22}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{22}\] 5. Làm tròn kết quả: - Ta làm tròn giá trị của $\sqrt{22}$ đến hàng phần trăm: \[\sqrt{22} \approx 4.69\] Vậy, giá trị của tan của góc phẳng nhị diện [S, BC, O] là 4.69. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu đã đưa ra. Bước 1: Xác định các trường hợp - Trường hợp 1: Đội có 1 nữ và 3 nam. - Trường hợp 2: Đội có 2 nữ và 2 nam. Bước 2: Xét từng trường hợp - Trường hợp 1: Đội có 1 nữ và 3 nam - Chọn 1 nữ từ 4 nữ: $\binom{4}{1} = 4$ cách. - Chọn 3 nam từ 6 nam nhưng không được chọn cả A và B cùng một lúc: - Chọn 3 nam từ 6 nam: $\binom{6}{3} = 20$ cách. - Trừ đi trường hợp chọn cả A và B: Chọn thêm 1 nam từ 4 nam còn lại: $\binom{4}{1} = 4$ cách. - Số cách chọn trong trường hợp này: $4 \times (20 - 4) = 4 \times 16 = 64$ cách. - Trường hợp 2: Đội có 2 nữ và 2 nam - Chọn 2 nữ từ 4 nữ: $\binom{4}{2} = 6$ cách. - Chọn 2 nam từ 6 nam nhưng không được chọn cả A và B cùng một lúc: - Chọn 2 nam từ 6 nam: $\binom{6}{2} = 15$ cách. - Trừ đi trường hợp chọn cả A và B: Chọn thêm 0 nam từ 4 nam còn lại: $\binom{4}{0} = 1$ cách. - Số cách chọn trong trường hợp này: $6 \times (15 - 1) = 6 \times 14 = 84$ cách. Bước 3: Tính tổng số cách Tổng số cách chọn đội: $64 + 84 = 148$ cách. Đáp số: 148 cách. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của khinh khí cầu sau mỗi thời điểm: - Khinh khí cầu ban đầu ở tọa độ \( A(-16, -10, 10) \). - Véc tơ vận tốc không đổi là \( \overrightarrow{v} = (4, 3, -1) \). 2. Xác định tọa độ của khinh khí cầu sau \( t \) giờ: - Tọa độ của khinh khí cầu sau \( t \) giờ là \( B(t) = (-16 + 4t, -10 + 3t, 10 - t) \). 3. Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến trạm kiểm soát: - Khoảng cách từ khinh khí cầu đến trạm kiểm soát (gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \)) là: \[ d(t) = \sqrt{(-16 + 4t)^2 + (-10 + 3t)^2 + (10 - t)^2} \] 4. Xác định thời điểm khinh khí cầu vào và ra khỏi vùng kiểm soát: - Khinh khí cầu vào vùng kiểm soát khi \( d(t) = 12 \): \[ \sqrt{(-16 + 4t)^2 + (-10 + 3t)^2 + (10 - t)^2} = 12 \] \[ (-16 + 4t)^2 + (-10 + 3t)^2 + (10 - t)^2 = 144 \] \[ (256 - 128t + 16t^2) + (100 - 60t + 9t^2) + (100 - 20t + t^2) = 144 \] \[ 25t^2 - 208t + 456 = 144 \] \[ 25t^2 - 208t + 312 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{208 \pm \sqrt{208^2 - 4 \cdot 25 \cdot 312}}{2 \cdot 25} \] \[ t = \frac{208 \pm \sqrt{43264 - 31200}}{50} \] \[ t = \frac{208 \pm \sqrt{12064}}{50} \] \[ t = \frac{208 \pm 109.84}{50} \] \[ t_1 = \frac{317.84}{50} = 6.3568 \quad \text{(khoảng 6.36 giờ)} \] \[ t_2 = \frac{98.16}{50} = 1.9632 \quad \text{(khoảng 1.96 giờ)} \] 5. Tính thời gian từ khi phát hiện đến khi ra khỏi vùng kiểm soát: - Thời gian từ khi phát hiện đến khi ra khỏi vùng kiểm soát là: \[ t_{\text{ra}} - t_{\text{vào}} = 6.36 - 1.96 = 4.4 \text{ giờ} \] - Đổi ra phút: \[ 4.4 \times 60 = 264 \text{ phút} \] Đáp số: 264 phút.