cho tôi đáp án câu 4 và 5

Câu 3: a. Phương trình đường thẳng $d_1$ đối xứng với $d$ qua trục hoành là $2x + 3y + 1 = 0$. b. Phương trình đường thẳng $d_1$ đối xứng với $d$ qua trục tung là $-2x - 3y + 1 = 0$. c. Phương trình đường thẳng $d_1$ đối xứng với $d$ qua gốc tọa độ là $-2x + 3y + 1 = 0$. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ đỉnh B và C. 2. Tìm tọa độ đỉnh A. 3. Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC. Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh B và C. Phương trình đường thẳng AB là: \(x + y - 1 = 0\). Phương trình đường trung tuyến BM là: \(x + 2y - 2 = 0\). Phương trình đường trung tuyến CN là: \(x - 3y - 1 = 0\). Để tìm tọa độ đỉnh B, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + 2y - 2 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(y = 1 - x\). Thay vào phương trình thứ hai: \[ x + 2(1 - x) - 2 = 0 \implies x + 2 - 2x - 2 = 0 \implies -x = 0 \implies x = 0 \] Thay \(x = 0\) vào \(y = 1 - x\): \[ y = 1 - 0 = 1 \] Vậy tọa độ đỉnh B là \(B(0, 1)\). Để tìm tọa độ đỉnh C, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x - 3y - 1 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ nhất, ta có: \(y = 1 - x\). Thay vào phương trình thứ hai: \[ x - 3(1 - x) - 1 = 0 \implies x - 3 + 3x - 1 = 0 \implies 4x - 4 = 0 \implies x = 1 \] Thay \(x = 1\) vào \(y = 1 - x\): \[ y = 1 - 1 = 0 \] Vậy tọa độ đỉnh C là \(C(1, 0)\). Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh A. Gọi tọa độ đỉnh A là \(A(x_1, y_1)\). Vì M là trung điểm của AC nên tọa độ M là: \[ M\left(\frac{x_1 + 1}{2}, \frac{y_1 + 0}{2}\right) \] M thuộc đường thẳng BM, vậy thay tọa độ M vào phương trình \(x + 2y - 2 = 0\): \[ \frac{x_1 + 1}{2} + 2 \cdot \frac{y_1}{2} - 2 = 0 \implies \frac{x_1 + 1}{2} + y_1 - 2 = 0 \implies x_1 + 1 + 2y_1 - 4 = 0 \implies x_1 + 2y_1 - 3 = 0 \] Vì N là trung điểm của AB nên tọa độ N là: \[ N\left(\frac{x_1 + 0}{2}, \frac{y_1 + 1}{2}\right) \] N thuộc đường thẳng CN, vậy thay tọa độ N vào phương trình \(x - 3y - 1 = 0\): \[ \frac{x_1}{2} - 3 \cdot \frac{y_1 + 1}{2} - 1 = 0 \implies \frac{x_1}{2} - \frac{3(y_1 + 1)}{2} - 1 = 0 \implies x_1 - 3(y_1 + 1) - 2 = 0 \implies x_1 - 3y_1 - 3 - 2 = 0 \implies x_1 - 3y_1 - 5 = 0 \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_1 + 2y_1 - 3 = 0 \\ x_1 - 3y_1 - 5 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: \[ \begin{cases} x_1 + 2y_1 = 3 \\ x_1 - 3y_1 = 5 \end{cases} \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (x_1 + 2y_1) - (x_1 - 3y_1) = 3 - 5 \implies 5y_1 = -2 \implies y_1 = -\frac{2}{5} \] Thay \(y_1 = -\frac{2}{5}\) vào phương trình \(x_1 + 2y_1 = 3\): \[ x_1 + 2 \left(-\frac{2}{5}\right) = 3 \implies x_1 - \frac{4}{5} = 3 \implies x_1 = 3 + \frac{4}{5} = \frac{15}{5} + \frac{4}{5} = \frac{19}{5} \] Vậy tọa độ đỉnh A là \(A\left(\frac{19}{5}, -\frac{2}{5}\right)\). Bước 3: Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC. Phương trình cạnh BC: \[ \text{Điểm B}(0, 1) \text{ và điểm C}(1, 0) \] Phương trình đường thẳng qua hai điểm B và C: \[ \frac{y - 1}{x - 0} = \frac{0 - 1}{1 - 0} \implies \frac{y - 1}{x} = -1 \implies y - 1 = -x \implies x + y - 1 = 0 \] Phương trình cạnh AC: \[ \text{Điểm A}\left(\frac{19}{5}, -\frac{2}{5}\right) \text{ và điểm C}(1, 0) \] Phương trình đường thẳng qua hai điểm A và C: \[ \frac{y + \frac{2}{5}}{x - \frac{19}{5}} = \frac{0 + \frac{2}{5}}{1 - \frac{19}{5}} \implies \frac{y + \frac{2}{5}}{x - \frac{19}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{14}{5}} \implies \frac{y + \frac{2}{5}}{x - \frac{19}{5}} = -\frac{1}{7} \] Nhân cả hai vế với \(x - \frac{19}{5}\): \[ y + \frac{2}{5} = -\frac{1}{7} \left(x - \frac{19}{5}\right) \implies y + \frac{2}{5} = -\frac{1}{7}x + \frac{19}{35} \implies y = -\frac{1}{7}x + \frac{19}{35} - \frac{2}{5} \implies y = -\frac{1}{7}x + \frac{19}{35} - \frac{14}{35} \implies y = -\frac{1}{7}x + \frac{5}{35} \implies y = -\frac{1}{7}x + \frac{1}{7} \] Nhân cả hai vế với 7: \[ 7y = -x + 1 \implies x + 7y - 1 = 0 \] Phương trình cạnh AB: \[ \text{Điểm A}\left(\frac{19}{5}, -\frac{2}{5}\right) \text{ và điểm B}(0, 1) \] Phương trình đường thẳng qua hai điểm A và B: \[ \frac{y + \frac{2}{5}}{x - \frac{19}{5}} = \frac{1 + \frac{2}{5}}{0 - \frac{19}{5}} \implies \frac{y + \frac{2}{5}}{x - \frac{19}{5}} = \frac{\frac{7}{5}}{-\frac{19}{5}} \implies \frac{y + \frac{2}{5}}{x - \frac{19}{5}} = -\frac{7}{19} \] Nhân cả hai vế với \(x - \frac{19}{5}\): \[ y + \frac{2}{5} = -\frac{7}{19} \left(x - \frac{19}{5}\right) \implies y + \frac{2}{5} = -\frac{7}{19}x + \frac{7}{5} \implies y = -\frac{7}{19}x + \frac{7}{5} - \frac{2}{5} \implies y = -\frac{7}{19}x + \frac{5}{5} \implies y = -\frac{7}{19}x + 1 \] Nhân cả hai vế với 19: \[ 19y = -7x + 19 \implies 7x + 19y - 19 = 0 \] Vậy phương trình các cạnh còn lại của tam giác ABC là: - Cạnh BC: \(x + y - 1 = 0\) - Cạnh AC: \(x + 7y - 1 = 0\) - Cạnh AB: \(7x + 19y - 19 = 0\) Câu 5: Để lập phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm A và B: - Ta biết rằng phương trình đường thẳng AB là \(x - y - 1 = 0\). - Giả sử tọa độ của điểm A là \((x_1, y_1)\) và tọa độ của điểm B là \((x_2, y_2)\). 2. Tìm tọa độ điểm D: - Vì ABCD là hình bình hành, nên vectơ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). - Ta có \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\). - Tọa độ của điểm C là \((4, 0)\), do đó tọa độ của điểm D sẽ là \((x_D, y_D)\) sao cho \(\overrightarrow{DC} = (4 - x_D, 0 - y_D)\). 3. Lập phương trình các cạnh còn lại: - Ta cần tìm phương trình của các đường thẳng AD và BC. Bây giờ, ta sẽ thực hiện từng bước chi tiết: Bước 1: Tìm tọa độ điểm A và B Giả sử tọa độ của điểm A là \((x_1, y_1)\) và tọa độ của điểm B là \((x_2, y_2)\). Ta có: \[ x_1 - y_1 - 1 = 0 \] \[ x_2 - y_2 - 1 = 0 \] Bước 2: Tìm tọa độ điểm D Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (4 - x_D, 0 - y_D) \] Từ đây, ta suy ra: \[ x_2 - x_1 = 4 - x_D \] \[ y_2 - y_1 = -y_D \] Bước 3: Lập phương trình các cạnh còn lại Ta cần tìm phương trình của các đường thẳng AD và BC. Phương trình đường thẳng AD: - Ta biết tọa độ của điểm A là \((x_1, y_1)\) và tọa độ của điểm D là \((x_D, y_D)\). - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_D, y_D)\) là: \[ \frac{y - y_1}{y_D - y_1} = \frac{x - x_1}{x_D - x_1} \] Phương trình đường thẳng BC: - Ta biết tọa độ của điểm B là \((x_2, y_2)\) và tọa độ của điểm C là \((4, 0)\). - Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \((x_2, y_2)\) và \((4, 0)\) là: \[ \frac{y - y_2}{0 - y_2} = \frac{x - x_2}{4 - x_2} \] Kết luận: Phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD là: - Phương trình đường thẳng AD: \(\frac{y - y_1}{y_D - y_1} = \frac{x - x_1}{x_D - x_1}\) - Phương trình đường thẳng BC: \(\frac{y - y_2}{0 - y_2} = \frac{x - x_2}{4 - x_2}\) Để có phương trình cụ thể, ta cần biết thêm thông tin về tọa độ của điểm A và B.