Giải dùm e với ạ Câu II (2,0 điểm). Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau,$\begin{array}{lllllll}X&1&3&5&5&-1&0&1\0,3&0,6&0,1&\frac{X&-1&0,3&0,5&\end{array}$,

,
P,

,
,

,a. Tính V(X).,b. Lập bảng phân phối xác suất của X.Y.

Question

Giải dùm e với ạ Câu II (2,0 điểm). Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất như sau,$\begin{array}{lllllll}X&1&3&5&5&-1&0&1\0,3&0,6&0,1&\frac{X&-1&0,3&0,5&\end{array}$,

,
P,

,
,

,a. Tính V(X).,b. Lập bảng phân phối xác suất của X.Y.

Accepted Answer

Câu II
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính toán các giá trị trung bình (E(X)) và phương sai (V(X)) của biến ngẫu nhiên X.

Tính E(X):
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$

Dựa vào bảng phân phối xác suất của X:
$$
E(X) = 1 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,6 + 5 \cdot 0,1 + (-1) \cdot 0,3 + 0 \cdot 0,5 + 1 \cdot 0,1
$$
$$
E(X) = 0,3 + 1,8 + 0,5 - 0,3 + 0 + 0,1 = 2,4
$$

Tính V(X):
$$
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$

Tính $E(X^2)$:
$$
E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot P(X = x_i)
$$
$$
E(X^2) = 1^2 \cdot 0,3 + 3^2 \cdot 0,6 + 5^2 \cdot 0,1 + (-1)^2 \cdot 0,3 + 0^2 \cdot 0,5 + 1^2 \cdot 0,1
$$
$$
E(X^2) = 0,3 + 5,4 + 2,5 + 0,3 + 0 + 0,1 = 8,6
$$

Bây giờ tính $V(X)$:
$$
V(X) = 8,6 - (2,4)^2 = 8,6 - 5,76 = 2,84
$$

Bước 2: Lập bảng phân phối xác suất của X.Y

Do X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập, ta có thể tính xác suất của $XY$ bằng cách nhân xác suất của các giá trị tương ứng của X và Y.

Bảng phân phối xác suất của Y:
$$
\begin{array}{c|c}
Y & P(Y) \
\hline
-1 & 0,3 \
0 & 0,5 \
1 & 0,2 \
\end{array}
$$

Bây giờ, ta tính các giá trị của $XY$ và xác suất tương ứng:
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
X & 1 & 3 & 5 & 5 & -1 & 0 & 1 \
\hline
P(X) & 0,3 & 0,6 & 0,1 & 0,1 & 0,3 & 0,5 & 0,1 \
\hline
Y & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \
\hline
XY & -1 & 0 & 1 & -3 & 0 & 3 & -5 & 0 & 5 & -5 & 0 & 5 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \
\hline
P(XY) & 0,3 \times 0,3 & 0,3 \times 0,5 & 0,3 \times 0,2 & 0,6 \times 0,3 & 0,6 \times 0,5 & 0,6 \times 0,2 & 0,1 \times 0,3 & 0,1 \times 0,5 & 0,1 \times 0,2 & 0,1 \times 0,3 & 0,1 \times 0,5 & 0,1 \times 0,2 & 0,3 \times 0,3 & 0,3 \times 0,5 & 0,3 \times 0,2 & 0,1 \times 0,3 & 0,1 \times 0,5 & 0,1 \times 0,2 \
\hline
P(XY) & 0,09 & 0,15 & 0,06 & 0,18 & 0,3 & 0,12 & 0,03 & 0,05 & 0,02 & 0,03 & 0,05 & 0,02 & 0,09 & 0,15 & 0,06 & 0,03 & 0,05 & 0,02 \
\end{array}
$$

Tổng hợp lại, ta có bảng phân phối xác suất của $XY$:
$$
\begin{array}{c|c}
XY & P(XY) \
\hline
-5 & 0,03 + 0,03 = 0,06 \
-3 & 0,18 \
-1 & 0,09 + 0,09 = 0,18 \
0 & 0,15 + 0,3 + 0,05 + 0,05 + 0,05 = 0,6 \
1 & 0,06 + 0,06 = 0,12 \
3 & 0,12 \
5 & 0,02 + 0,02 = 0,04 \
\end{array}
$$

Kết luận:
a. Phương sai của X là $V(X) = 2,84$.

b. Bảng phân phối xác suất của $XY$ là:
$$
\begin{array}{c|c}
XY & P(XY) \
\hline
-5 & 0,06 \
-3 & 0,18 \
-1 & 0,18 \
0 & 0,6 \
1 & 0,12 \
3 & 0,12 \
5 & 0,04 \
\end{array}
$$