Giải hộ tớ với ạdbbcmxbdnk Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian Biến soạn: Hoàng Đức Chính,Câu 4. [1] Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:~\frac{x-2}{-1}=\frac{y+4}1=\frac{z-1}3.$ Một vectơ chỉ phương,của đường thẳng d có tọa độ là,$A.~(-1;1;3).$ $B.~(2;-4;1).$ $C.~(1;2;3).$ $D.~(2;4;1).$,Câu 5. [1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $M(3;-2;1),~N(1;2;3).$ Phương trình đường thẳng,MN là,vbb 5 $A.\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+2i,t\in\mathbb R.\z=-1+3t\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2-2t,t\in\mathbb R.\z=3-t\end{array} ight.$ $C\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=-2-2t,t\in\mathbb R\z=-3-t\end{array} ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2,~t\in\mathbb R.\z=3+t\end{array} ight.$,Câu 6. [2] Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(3;-2;1)$ và,vuông góc với mặt phẳng $(P):~-x+2y-2z+1=0$ là,→ $A.\left\{\begin{array}lx=3-1\y=-2+2i,t\in\mathbb R.\z=1-2i\end{array} ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=1+3t\y=-2-2i,t\in\mathbb R.\z=2-t\end{array} ight.$ $C\left\{\begin{array}lx=-3-1\y=2+2x,t\in\mathbb R.\z=-1-2x\end{array} ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=3-1t\y=2-2t,t\in\mathbb R.\z=1-2t\end{array} ight.$,Câu 7. [1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz.Tính góc giữa mặt phẳng $(Oxy)$ và mặt,phẳng (P) có phương trình $(P):~x+z+1=0.$,$A.~30^0.$ $B.~45^0.$ $C.~60^0.$ $D.~90^0.$,Câu 8. [2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình,$d_1:\frac{x+1}1=\frac{y-2}1=\frac{z+2}{-1}$ và $d_2:\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}1$,Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là,$A.~\frac13.$ $B.~\frac12.$ $C.~\frac1{\sqrt3}$ $D.~\frac1{\sqrt2}$,Câu 9. [2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y{-1}=\frac z2$ và mặt,phẳng $(a):~x+2y-z=0.$,Góc giữa đường thẳng A và mặt phẳng (a) bằng,$A.~60^0.$ $B.~30^0.$ $C.~150^0.$ $D.~120^0.$,Câu 10. [1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu,$(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.$ Tọa độ tâm / và bán kính R của mặt cầu (S) là,$A.~I(1;-2;3);R=5.$ $B.~I(-1;2;-3),~R=5.$

Question

Giải hộ tớ với ạdbbcmxbdnk Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian Biến soạn: Hoàng Đức Chính,Câu 4. [1] Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d:~\frac{x-2}{-1}=\frac{y+4}1=\frac{z-1}3.$ Một vectơ chỉ phương,của đường thẳng d có tọa độ là,$A.~(-1;1;3).$ $B.~(2;-4;1).$ $C.~(1;2;3).$ $D.~(2;4;1).$,Câu 5. [1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $M(3;-2;1),~N(1;2;3).$ Phương trình đường thẳng,MN là,vbb 5 $A.\left\{\begin{array}lx=1+t\y=-2+2i,t\in\mathbb R.\z=-1+3t\end{array}ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2-2t,t\in\mathbb R.\z=3-t\end{array}ight.$ $C\left\{\begin{array}lx=-1+t\y=-2-2t,t\in\mathbb R\z=-3-t\end{array}ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2,~t\in\mathbb R.\z=3+t\end{array}ight.$,Câu 6. [2] Trong không gian Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(3;-2;1)$ và,vuông góc với mặt phẳng $(P):~-x+2y-2z+1=0$ là,→ $A.\left\{\begin{array}lx=3-1\y=-2+2i,t\in\mathbb R.\z=1-2i\end{array}ight.$ $B.\left\{\begin{array}lx=1+3t\y=-2-2i,t\in\mathbb R.\z=2-t\end{array}ight.$ $C\left\{\begin{array}lx=-3-1\y=2+2x,t\in\mathbb R.\z=-1-2x\end{array}ight.$ $D.\left\{\begin{array}lx=3-1t\y=2-2t,t\in\mathbb R.\z=1-2t\end{array}ight.$,Câu 7. [1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz.Tính góc giữa mặt phẳng $(Oxy)$ và mặt,phẳng (P) có phương trình $(P):~x+z+1=0.$,$A.~30^0.$ $B.~45^0.$ $C.~60^0.$ $D.~90^0.$,Câu 8. [2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình,$d_1:\frac{x+1}1=\frac{y-2}1=\frac{z+2}{-1}$ và $d_2:\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}1$,Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là,$A.~\frac13.$ $B.~\frac12.$ $C.~\frac1{\sqrt3}$ $D.~\frac1{\sqrt2}$,Câu 9. [2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y{-1}=\frac z2$ và mặt,phẳng $(a):~x+2y-z=0.$,Góc giữa đường thẳng A và mặt phẳng (a) bằng,$A.~60^0.$ $B.~30^0.$ $C.~150^0.$ $D.~120^0.$,Câu 10. [1] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu,$(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.$ Tọa độ tâm / và bán kính R của mặt cầu (S) là,$A.~I(1;-2;3);R=5.$ $B.~I(-1;2;-3),~R=5.$

Accepted Answer

Câu 4.
Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ được cho bởi phương trình tham số $\frac{x-2}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-1}{3}$, ta cần xác định các hệ số ở mẫu số của các phân thức này.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ có dạng:
$$
\frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 4}{1} = \frac{z - 1}{3}
$$

Từ đây, ta thấy rằng các hệ số ở mẫu số của các phân thức này chính là các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là:
$$
\vec{u} = (-1, 1, 3)
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
A. (-1, 1, 3)
$$

Đáp số: $A. (-1, 1, 3)$

Câu 5.
Để tìm phương trình đường thẳng MN trong không gian Oxyz, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này và điểm đi qua của nó.

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng MN:
   - Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là:
     $$
     \overrightarrow{MN} = N - M = (1 - 3, 2 - (-2), 3 - 1) = (-2, 4, 2)
     $$

2. Lập phương trình đường thẳng MN:
   - Đường thẳng MN đi qua điểm $M(3, -2, 1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN} = (-2, 4, 2)$.
   - Phương trình tham số của đường thẳng MN là:
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 3 - 2t \
     y = -2 + 4t \
     z = 1 + 2t
     \end{array}
     \right., \quad t \in \mathbb{R}
     $$

3. So sánh với các phương án đã cho:
   - Phương án A: 
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 1 + t \
     y = -2 + 2t \
     z = -1 + 3t
     \end{array}
     \right.
     $$
     Không đúng vì không đi qua điểm M(3, -2, 1).

- Phương án B: 
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 1 + t \
     y = 2 - 2t \
     z = 3 - t
     \end{array}
     \right.
     $$
     Không đúng vì không đi qua điểm M(3, -2, 1).

- Phương án C: 
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = -1 + t \
     y = -2 - 2t \
     z = -3 - t
     \end{array}
     \right.
     $$
     Không đúng vì không đi qua điểm M(3, -2, 1).

- Phương án D: 
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 1 + t \
     y = 2 \
     z = 3 + t
     \end{array}
     \right.
     $$
     Không đúng vì không đi qua điểm M(3, -2, 1).

Do đó, phương án đúng là:
$$
\boxed{\left\{
\begin{array}{l}
x = 3 - 2t \
y = -2 + 4t \
z = 1 + 2t
\end{array}
\right., \quad t \in \mathbb{R}}
$$

Câu 6.
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3;-2;1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): -x + 2y - 2z + 1 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-x + 2y - 2z + 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (-1, 2, -2)$.

2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d} = (-1, 2, -2)$.

3. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(3, -2, 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (-1, 2, -2)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ sẽ có dạng:
   $$
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x = 3 - t \
   y = -2 + 2t \
   z = 1 - 2t
   \end{array}
   \right., \quad t \in \mathbb{R}
   $$

So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy phương án đúng là:
$$ 
D.\left\{\begin{array}{l}
x = 3 - t \
y = -2 + 2t \
z = 1 - 2t
\end{array}\right., \quad t \in \mathbb{R}
$$

Vậy đáp án đúng là: D.

Câu 7.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

1. Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là $z = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

2. Mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $x + z + 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n_2} = (1, 0, 1)$.

3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
$$
\cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}
$$

- Tích vô hướng $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$:
$$
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0, 0, 1) \cdot (1, 0, 1) = 0 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times 1 = 1
$$

- Độ dài của $\vec{n_1}$:
$$
|\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
$$

- Độ dài của $\vec{n_2}$:
$$
|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
$$

- Vậy:
$$
\cos(\theta) = \frac{1}{1 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

4. Từ đó suy ra góc $\theta$:
$$
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ
$$

Vậy góc giữa mặt phẳng $(Oxy)$ và mặt phẳng $(P)$ là $45^\circ$. Đáp án đúng là B. $45^\circ$.

Câu 8.
Để tìm cosin góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $ d_1 $ có phương trình: $ \frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+2}{-1} $
     Vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là $ \vec{u}_1 = (1, 1, -1) $.

- Đường thẳng $ d_2 $ có phương trình: $ \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+1}{1} $
     Vectơ chỉ phương của $ d_2 $ là $ \vec{u}_2 = (1, -1, 1) $.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 - 1 = -1
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
   $$

4. Tính cosin góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}
   $$

Do đó, cosin góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là $ -\frac{1}{3} $. Tuy nhiên, vì cosin góc luôn là giá trị dương hoặc âm tùy thuộc vào hướng của vectơ, nên ta chọn giá trị dương gần đúng nhất trong các đáp án đã cho.

Đáp án đúng là:
$$ A. \frac{1}{3} $$

Vậy, cosin góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là $ \frac{1}{3} $.

Câu 9.
Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(a)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}
   $$
   Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (1, -1, 2)$.

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(a)$:
   Mặt phẳng $(a)$ có phương trình:
   $$
   x + 2y - z = 0
   $$
   Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(a)$ là $\vec{n} = (1, 2, -1)$.

3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
   Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta tính cosin của góc này bằng công thức:
   $$
   \cos \theta = \left| \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \right|
   $$

- Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
     $$
     \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 - 2 = -3
     $$

- Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
     $$
     |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
     $$

- Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
     $$
     |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
     $$

- Tính cosin của góc $\theta$:
     $$
     \cos \theta = \left| \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{6} \right| = \frac{1}{2}
     $$

- Tìm góc $\theta$:
     $$
     \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ
     $$

4. Kết luận:
   Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(a)$ là $60^\circ$. Do đó, đáp án đúng là:
   $$
   \boxed{A.~60^\circ}
   $$

Câu 10.
Mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25$ có dạng chuẩn $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $I(a,b,c)$ và bán kính là $R$.

So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn:
- Ta thấy $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$. Do đó, tâm của mặt cầu là $I(1, -2, 3)$.
- Bán kính $R$ là $\sqrt{25} = 5$.

Vậy tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$ là:
$$ I(1, -2, 3) \text{ và } R = 5 $$

Đáp án đúng là:
$$ A.~I(1;-2;3);R=5. $$