Giúp mình với!
S=3/4+8/9+15/16+...+n^2-1/n^2.
CMR: S không là một số nguyên

Question

Giúp mình với!
S=3/4+8/9+15/16+...+n^2-1/n^2.
     CMR: S  không là một số nguyên

Accepted Answer

Để chứng minh rằng tổng $ S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \ldots + \frac{n^2-1}{n^2} $ không là một số nguyên, ta sẽ phân tích từng phân số trong tổng này.

Nhận xét rằng mỗi phân số có dạng:
$$ \frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}. $$

Do đó, tổng $ S $ có thể viết lại dưới dạng:
$$ S = \left(1 - \frac{1}{4}\right) + \left(1 - \frac{1}{9}\right) + \left(1 - \frac{1}{16}\right) + \ldots + \left(1 - \frac{1}{n^2}\right). $$

Tổng này có thể tách thành hai phần:
$$ S = (1 + 1 + 1 + \ldots + 1) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{n^2}\right). $$

Phần đầu tiên là tổng của $ n $ số 1, tức là:
$$ 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 = n. $$

Phần thứ hai là tổng của các phân số:
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{n^2}. $$

Ta thấy rằng mỗi phân số $ \frac{1}{k^2} $ (với $ k \geq 2 $) đều nhỏ hơn 1 và lớn hơn 0. Do đó, tổng của chúng cũng sẽ là một số thực nằm giữa 0 và 1.

Vậy tổng $ S $ có thể viết lại là:
$$ S = n - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{n^2}\right). $$

Vì $ n $ là một số nguyên và $ \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{n^2}\right) $ là một số thực nằm giữa 0 và 1, nên $ S $ không thể là một số nguyên.

Kết luận: $ S $ không là một số nguyên.

Giúp mình với! S=3/4+8/9+15/16+...+n^2-1/n^2. CMR: S không là một số nguyên