Giải giúp vs ạ 13. Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 50 ngày. Gọi $M(t)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ 1 (kể từ khi khởi,công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng $M^\prime(t)=m(t)$ với m(t) là số lượng công nhân được sử dụng tại thời,điểm I . Biết rằng $m(t)=100+8\sqrt t-2t$ (với $0\leq t\leq50).$,a. Có 72 công nhân được sử dụng vào ngày thứ $49.~S_b.$ Số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ 4.,c. Trong 10 ngày đầu tiên, công trình đã cần hơn 1000 ngày công.,d. Tổng cộng cần 4000 ngày công để hoàn thành công trình xây dưng đó theo dư kiến

Question

Accepted Answer

Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a. Có 72 công nhân được sử dụng vào ngày thứ 49

Ta có:
$$ m(t) = 100 + 8\sqrt{t} - 2t $$

Thay $ t = 49 $:
$$ m(49) = 100 + 8\sqrt{49} - 2 \times 49 $$
$$ m(49) = 100 + 8 \times 7 - 98 $$
$$ m(49) = 100 + 56 - 98 $$
$$ m(49) = 58 $$

Vậy vào ngày thứ 49, có 58 công nhân được sử dụng, không phải 72 công nhân.

b. Số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ 4

Để tìm thời điểm mà số lượng công nhân được sử dụng nhiều nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm $ m(t) $.

Tính đạo hàm của $ m(t) $:
$$ m'(t) = \frac{d}{dt}(100 + 8\sqrt{t} - 2t) $$
$$ m'(t) = 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} - 2 $$
$$ m'(t) = \frac{4}{\sqrt{t}} - 2 $$

Đặt $ m'(t) = 0 $:
$$ \frac{4}{\sqrt{t}} - 2 = 0 $$
$$ \frac{4}{\sqrt{t}} = 2 $$
$$ \sqrt{t} = 2 $$
$$ t = 4 $$

Kiểm tra đạo hàm hai lần:
$$ m''(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{4}{\sqrt{t}} - 2\right) $$
$$ m''(t) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}}\right) $$
$$ m''(t) = -\frac{2}{t^{\frac{3}{2}}} $$

Vì $ m''(t) < 0 $ khi $ t > 0 $, nên $ t = 4 $ là điểm cực đại.

Vậy số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ 4.

c. Trong 10 ngày đầu tiên, công trình đã cần hơn 1000 ngày công

Ta cần tính tổng số ngày công trong 10 ngày đầu tiên:
$$ M(t) = \int_{0}^{t} m(u) \, du $$
$$ M(10) = \int_{0}^{10} (100 + 8\sqrt{u} - 2u) \, du $$

Tính tích phân từng phần:
$$ \int_{0}^{10} 100 \, du = 100u \Big|_0^{10} = 1000 $$
$$ \int_{0}^{10} 8\sqrt{u} \, du = 8 \int_{0}^{10} u^{\frac{1}{2}} \, du = 8 \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \Big|_0^{10} = \frac{16}{3} \cdot 10^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3} \cdot 10\sqrt{10} \approx 160 $$
$$ \int_{0}^{10} 2u \, du = 2 \cdot \frac{u^2}{2} \Big|_0^{10} = 10^2 = 100 $$

Tổng lại:
$$ M(10) = 1000 + 160 - 100 = 1060 $$

Vậy trong 10 ngày đầu tiên, công trình đã cần 1060 ngày công, hơn 1000 ngày công.

d. Tổng cộng cần 4000 ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó theo dự kiến

Ta cần tính tổng số ngày công trong 50 ngày:
$$ M(50) = \int_{0}^{50} (100 + 8\sqrt{u} - 2u) \, du $$

Tính tích phân từng phần:
$$ \int_{0}^{50} 100 \, du = 100u \Big|_0^{50} = 5000 $$
$$ \int_{0}^{50} 8\sqrt{u} \, du = 8 \int_{0}^{50} u^{\frac{1}{2}} \, du = 8 \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \Big|_0^{50} = \frac{16}{3} \cdot 50^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3} \cdot 50\sqrt{50} \approx 1266.67 $$
$$ \int_{0}^{50} 2u \, du = 2 \cdot \frac{u^2}{2} \Big|_0^{50} = 50^2 = 2500 $$

Tổng lại:
$$ M(50) = 5000 + 1266.67 - 2500 = 3766.67 $$

Vậy tổng cộng cần khoảng 3766.67 ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó theo dự kiến, không phải 4000 ngày công.

Kết luận:
a. Sai, vì vào ngày thứ 49 có 58 công nhân được sử dụng.
b. Đúng, vì số công nhân được sử dụng nhiều nhất vào ngày thứ 4.
c. Đúng, vì trong 10 ngày đầu tiên, công trình đã cần 1060 ngày công, hơn 1000 ngày công.
d. Sai, vì tổng cộng cần khoảng 3766.67 ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó theo dự kiến, không phải 4000 ngày công.