giúp mình ạ NGÀY 4/6,Câu 1. Khai triển các đa thức:,$a)~(x-3)^4$ $b)~(3x-2y)^4$,NGÀY 5/6,Câu 2. Khai triển các đa thức:,$c)~(x+5)^4+(x-5)^4$ $d)~(x-2y)^5$,NGÀY 6/6,Câu 1. (NB) Khai triển nhị thức Newton $(1+x)^4$,Câu 2. (NB) Khai triển nhị thức Newton $(x+2)^4$,NGÀY 7/6,Câu 3. (NB) Khai triển nhị thức Newton $(x-1)^4$,Câu 4. (TH) Khai triển nhị thức Newton $(2x+y)^4$,NGÀY 8/6,Câu 5. (TH) Khai triển nhị thức Newton $(x-3y)^4$,$|x^2+\frac1x|^4$,Câu 6. (TH) Khai triển nhị thức Newton,NGÀY 9/6,$|x-\frac1{x^2}|^4$,Câu 7. (TH) Khai triển nhị thức Newton,Câu 8. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x-1)^5$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) $(x-3)^4$
Áp dụng công thức khai triển $(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$, ta có:
$$
(x-3)^4 = x^4 - 4x^3 \cdot 3 + 6x^2 \cdot 3^2 - 4x \cdot 3^3 + 3^4
$$
$$
= x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81
$$

b) $(3x-2y)^4$
Áp dụng công thức khai triển $(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$, ta có:
$$
(3x-2y)^4 = (3x)^4 - 4(3x)^3 \cdot 2y + 6(3x)^2 \cdot (2y)^2 - 4(3x) \cdot (2y)^3 + (2y)^4
$$
$$
= 81x^4 - 4 \cdot 27x^3 \cdot 2y + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 - 4 \cdot 3x \cdot 8y^3 + 16y^4
$$
$$
= 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4
$$

Đáp số:
a) $(x-3)^4 = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$
b) $(3x-2y)^4 = 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4$

Câu 2.
c) Ta sẽ khai triển $(x + 5)^4 + (x - 5)^4$ bằng cách sử dụng công thức nhị thức Newton.

Công thức nhị thức Newton:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Áp dụng cho $(x + 5)^4$:
$$
(x + 5)^4 = \binom{4}{0} x^4 5^0 + \binom{4}{1} x^3 5^1 + \binom{4}{2} x^2 5^2 + \binom{4}{3} x^1 5^3 + \binom{4}{4} x^0 5^4
$$
$$
= x^4 + 4x^3 \cdot 5 + 6x^2 \cdot 25 + 4x \cdot 125 + 625
$$
$$
= x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625
$$

Áp dụng cho $(x - 5)^4$:
$$
(x - 5)^4 = \binom{4}{0} x^4 (-5)^0 + \binom{4}{1} x^3 (-5)^1 + \binom{4}{2} x^2 (-5)^2 + \binom{4}{3} x^1 (-5)^3 + \binom{4}{4} x^0 (-5)^4
$$
$$
= x^4 - 4x^3 \cdot 5 + 6x^2 \cdot 25 - 4x \cdot 125 + 625
$$
$$
= x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625
$$

Bây giờ cộng hai kết quả lại:
$$
(x + 5)^4 + (x - 5)^4 = (x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625) + (x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625)
$$
$$
= x^4 + x^4 + 20x^3 - 20x^3 + 150x^2 + 150x^2 + 500x - 500x + 625 + 625
$$
$$
= 2x^4 + 300x^2 + 1250
$$

d) Ta sẽ khai triển $(x - 2y)^5$ bằng cách sử dụng công thức nhị thức Newton.

Áp dụng cho $(x - 2y)^5$:
$$
(x - 2y)^5 = \binom{5}{0} x^5 (-2y)^0 + \binom{5}{1} x^4 (-2y)^1 + \binom{5}{2} x^3 (-2y)^2 + \binom{5}{3} x^2 (-2y)^3 + \binom{5}{4} x^1 (-2y)^4 + \binom{5}{5} x^0 (-2y)^5
$$
$$
= x^5 + 5x^4 (-2y) + 10x^3 (4y^2) + 10x^2 (-8y^3) + 5x (16y^4) + (-32y^5)
$$
$$
= x^5 - 10x^4 y + 40x^3 y^2 - 80x^2 y^3 + 80xy^4 - 32y^5
$$

Đáp số:
c) $(x + 5)^4 + (x - 5)^4 = 2x^4 + 300x^2 + 1250$
d) $(x - 2y)^5 = x^5 - 10x^4 y + 40x^3 y^2 - 80x^2 y^3 + 80xy^4 - 32y^5$

Câu 1.
Ta sẽ khai triển nhị thức Newton $(1 + x)^4$ theo công thức nhị thức Newton.

Công thức khai triển nhị thức Newton là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, ta có $a = 1$, $b = x$ và $n = 4$. Ta sẽ áp dụng công thức này để khai triển:

$$
(1 + x)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 1^{4-k} x^k
$$

Ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

- Khi $k = 0$:
  $$
  \binom{4}{0} 1^{4-0} x^0 = \binom{4}{0} \cdot 1 \cdot 1 = 1
  $$

- Khi $k = 1$:
  $$
  \binom{4}{1} 1^{4-1} x^1 = \binom{4}{1} \cdot 1 \cdot x = 4x
  $$

- Khi $k = 2$:
  $$
  \binom{4}{2} 1^{4-2} x^2 = \binom{4}{2} \cdot 1 \cdot x^2 = 6x^2
  $$

- Khi $k = 3$:
  $$
  \binom{4}{3} 1^{4-3} x^3 = \binom{4}{3} \cdot 1 \cdot x^3 = 4x^3
  $$

- Khi $k = 4$:
  $$
  \binom{4}{4} 1^{4-4} x^4 = \binom{4}{4} \cdot 1 \cdot x^4 = x^4
  $$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(1 + x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4
$$

Vậy, khai triển của $(1 + x)^4$ là:
$$
(1 + x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4
$$

Câu 2.
Để khai triển nhị thức Newton $(x + 2)^4$, ta sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức.

Áp dụng vào bài toán, ta có:
$$
(x + 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} 2^k
$$

Ta sẽ tính từng hạng tử một:
- Khi $k = 0$:
$$
\binom{4}{0} x^{4-0} 2^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4
$$

- Khi $k = 1$:
$$
\binom{4}{1} x^{4-1} 2^1 = 4 \cdot x^3 \cdot 2 = 8x^3
$$

- Khi $k = 2$:
$$
\binom{4}{2} x^{4-2} 2^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2
$$

- Khi $k = 3$:
$$
\binom{4}{3} x^{4-3} 2^3 = 4 \cdot x \cdot 8 = 32x
$$

- Khi $k = 4$:
$$
\binom{4}{4} x^{4-4} 2^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
$$

Đáp số: $(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.

Câu 3.
Ta sẽ khai triển nhị thức Newton $(x-1)^4$ theo công thức nhị thức Newton.

Công thức khai triển nhị thức Newton là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức:
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Áp dụng công thức này cho $(x - 1)^4$, ta có:
$$
(x - 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-1)^k
$$

Ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

1. Khi $k = 0$:
$$
\binom{4}{0} x^{4-0} (-1)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4
$$

2. Khi $k = 1$:
$$
\binom{4}{1} x^{4-1} (-1)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot (-1) = -4x^3
$$

3. Khi $k = 2$:
$$
\binom{4}{2} x^{4-2} (-1)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 1 = 6x^2
$$

4. Khi $k = 3$:
$$
\binom{4}{3} x^{4-3} (-1)^3 = 4 \cdot x^1 \cdot (-1) = -4x
$$

5. Khi $k = 4$:
$$
\binom{4}{4} x^{4-4} (-1)^4 = 1 \cdot x^0 \cdot 1 = 1
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
$$

Vậy, khai triển của $(x - 1)^4$ là:
$$
(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1
$$

Câu 4.
Ta áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển biểu thức $(2x + y)^4$.

Công thức khai triển nhị thức Newton là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng:
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Áp dụng công thức này cho $(2x + y)^4$, ta có:
$$
(2x + y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} y^k
$$

Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

1. Khi $k = 0$:
$$
\binom{4}{0} (2x)^{4-0} y^0 = 1 \cdot (2x)^4 \cdot 1 = 16x^4
$$

2. Khi $k = 1$:
$$
\binom{4}{1} (2x)^{4-1} y^1 = 4 \cdot (2x)^3 \cdot y = 4 \cdot 8x^3 \cdot y = 32x^3y
$$

3. Khi $k = 2$:
$$
\binom{4}{2} (2x)^{4-2} y^2 = 6 \cdot (2x)^2 \cdot y^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot y^2 = 24x^2y^2
$$

4. Khi $k = 3$:
$$
\binom{4}{3} (2x)^{4-3} y^3 = 4 \cdot (2x)^1 \cdot y^3 = 4 \cdot 2x \cdot y^3 = 8xy^3
$$

5. Khi $k = 4$:
$$
\binom{4}{4} (2x)^{4-4} y^4 = 1 \cdot (2x)^0 \cdot y^4 = 1 \cdot 1 \cdot y^4 = y^4
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(2x + y)^4 = 16x^4 + 32x^3y + 24x^2y^2 + 8xy^3 + y^4
$$

Đáp số: $(2x + y)^4 = 16x^4 + 32x^3y + 24x^2y^2 + 8xy^3 + y^4$.

Câu 5.
Để khai triển các biểu thức theo yêu cầu, chúng ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho phép ta khai triển $(a + b)^n$ dưới dạng tổng các hạng tử.

Khai triển $(x - 3y)^4$

Công thức nhị thức Newton:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, $a = x$, $b = -3y$, và $n = 4$. Ta áp dụng công thức:

$$
(x - 3y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-3y)^k
$$

Ta tính từng hạng tử:

- Khi $k = 0$: 
  $$
  \binom{4}{0} x^{4-0} (-3y)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4
  $$

- Khi $k = 1$: 
  $$
  \binom{4}{1} x^{4-1} (-3y)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot (-3y) = -12x^3y
  $$

- Khi $k = 2$: 
  $$
  \binom{4}{2} x^{4-2} (-3y)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 9y^2 = 54x^2y^2
  $$

- Khi $k = 3$: 
  $$
  \binom{4}{3} x^{4-3} (-3y)^3 = 4 \cdot x \cdot (-27y^3) = -108xy^3
  $$

- Khi $k = 4$: 
  $$
  \binom{4}{4} x^{4-4} (-3y)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81y^4 = 81y^4
  $$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(x - 3y)^4 = x^4 - 12x^3y + 54x^2y^2 - 108xy^3 + 81y^4
$$

Khai triển $\left|x^2 + \frac{1}{x}\right|^4$

Đầu tiên, ta cần khai triển biểu thức $x^2 + \frac{1}{x}$ trước, sau đó mới khai triển lũy thừa bậc 4.

Tuy nhiên, vì đây là một biểu thức phức tạp hơn và không trực tiếp áp dụng công thức nhị thức Newton, ta sẽ khai triển từng bước:

$$
\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^4
$$

Áp dụng công thức nhị thức Newton:

$$
\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (x^2)^{4-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k
$$

Ta tính từng hạng tử:

- Khi $k = 0$: 
  $$
  \binom{4}{0} (x^2)^{4-0} \left(\frac{1}{x}\right)^0 = 1 \cdot x^8 \cdot 1 = x^8
  $$

- Khi $k = 1$: 
  $$
  \binom{4}{1} (x^2)^{4-1} \left(\frac{1}{x}\right)^1 = 4 \cdot x^6 \cdot \frac{1}{x} = 4x^5
  $$

- Khi $k = 2$: 
  $$
  \binom{4}{2} (x^2)^{4-2} \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^2} = 6x^2
  $$

- Khi $k = 3$: 
  $$
  \binom{4}{3} (x^2)^{4-3} \left(\frac{1}{x}\right)^3 = 4 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{4}{x}
  $$

- Khi $k = 4$: 
  $$
  \binom{4}{4} (x^2)^{4-4} \left(\frac{1}{x}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^4} = \frac{1}{x^4}
  $$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^4 = x^8 + 4x^5 + 6x^2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^4}
$$

Vậy, kết quả cuối cùng là:
$$
(x - 3y)^4 = x^4 - 12x^3y + 54x^2y^2 - 108xy^3 + 81y^4
$$
$$
\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^4 = x^8 + 4x^5 + 6x^2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^4}
$$

Câu 6.
Để khai triển biểu thức $ |x - \frac{1}{x^2}|^4 $ theo phương pháp nhị thức Newton, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định biểu thức cần khai triển.
$$ |x - \frac{1}{x^2}|^4 $$

Bước 2: Áp dụng công thức nhị thức Newton cho biểu thức $ (a + b)^n $:
$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$
Trong đó, $ a = x $, $ b = -\frac{1}{x^2} $, và $ n = 4 $.

Bước 3: Viết biểu thức khai triển:
$$ |x - \frac{1}{x^2}|^4 = \left( x - \frac{1}{x^2} \right)^4 $$

Áp dụng công thức nhị thức Newton:
$$ \left( x - \frac{1}{x^2} \right)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^k $$

Bước 4: Tính từng hạng tử trong tổng:
- Khi $ k = 0 $:
$$ \binom{4}{0} x^{4-0} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4 $$

- Khi $ k = 1 $:
$$ \binom{4}{1} x^{4-1} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^1 = 4 \cdot x^3 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -4x $$

- Khi $ k = 2 $:
$$ \binom{4}{2} x^{4-2} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2 = 6 \cdot x^2 \cdot \left(\frac{1}{x^4}\right) = 6 \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{6}{x^2} $$

- Khi $ k = 3 $:
$$ \binom{4}{3} x^{4-3} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^3 = 4 \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{x^6}\right) = -4 \cdot \frac{1}{x^5} = -\frac{4}{x^5} $$

- Khi $ k = 4 $:
$$ \binom{4}{4} x^{4-4} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{x^8}\right) = \frac{1}{x^8} $$

Bước 5: Gộp tất cả các hạng tử lại:
$$ \left( x - \frac{1}{x^2} \right)^4 = x^4 - 4x + \frac{6}{x^2} - \frac{4}{x^5} + \frac{1}{x^8} $$

Vậy, biểu thức $ |x - \frac{1}{x^2}|^4 $ được khai triển thành:
$$ |x - \frac{1}{x^2}|^4 = x^4 - 4x + \frac{6}{x^2} - \frac{4}{x^5} + \frac{1}{x^8} $$

Câu 7.
Khai triển nhị thức Newton là một phương pháp quan trọng trong đại số, giúp ta mở rộng biểu thức $(a + b)^n$ thành tổng của các hạng tử. Dưới đây là cách khai triển nhị thức Newton theo từng bước:

1. Công thức khai triển:
   Công thức khai triển nhị thức Newton cho $(a + b)^n$ là:
   $$
   (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
   $$
   Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, còn được gọi là hệ số tổ hợp, và được tính bằng công thức:
   $$
   \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
   $$

2. Lập luận từng bước:
   - Bước 1: Xác định giá trị của $n$, đây là số mũ của biểu thức $(a + b)^n$.
   - Bước 2: Tính các hệ số nhị thức $\binom{n}{k}$ cho mỗi giá trị của $k$ từ 0 đến $n$.
   - Bước 3: Viết các hạng tử của khai triển, mỗi hạng tử có dạng $\binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
   - Bước 4: Cộng tất cả các hạng tử lại để hoàn thành khai triển.

3. Ví dụ cụ thể:
   Ta sẽ khai triển $(a + b)^3$:
   - Bước 1: $n = 3$
   - Bước 2: Tính các hệ số nhị thức:
     $$
     \binom{3}{0} = 1, \quad \binom{3}{1} = 3, \quad \binom{3}{2} = 3, \quad \binom{3}{3} = 1
     $$
   - Bước 3: Viết các hạng tử:
     $$
     \binom{3}{0} a^{3-0} b^0 = 1 \cdot a^3 \cdot 1 = a^3
     $$
     $$
     \binom{3}{1} a^{3-1} b^1 = 3 \cdot a^2 \cdot b = 3a^2b
     $$
     $$
     \binom{3}{2} a^{3-2} b^2 = 3 \cdot a \cdot b^2 = 3ab^2
     $$
     $$
     \binom{3}{3} a^{3-3} b^3 = 1 \cdot 1 \cdot b^3 = b^3
     $$
   - Bước 4: Cộng tất cả các hạng tử lại:
     $$
     (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
     $$

Như vậy, ta đã hoàn thành việc khai triển nhị thức Newton cho $(a + b)^3$. Các bước tương tự cũng áp dụng cho các giá trị khác của $n$.

Câu 8.
Để tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x - 1)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton.

Theo công thức nhị thức Newton, khai triển của $(a + b)^n$ là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, ta có $a = 3x$, $b = -1$, và $n = 5$. Ta cần tìm hệ số của $x^4$, tức là tìm hệ số của $(3x)^4$ trong khai triển.

Ta xét từng hạng tử trong khai triển:
$$
(3x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x)^{5-k} (-1)^k
$$

Chúng ta cần tìm hạng tử có $(3x)^4$, tức là $k = 1$:
$$
\binom{5}{1} (3x)^{5-1} (-1)^1 = \binom{5}{1} (3x)^4 (-1)
$$

Tính toán cụ thể:
$$
\binom{5}{1} = 5
$$
$$
(3x)^4 = 3^4 x^4 = 81x^4
$$
$$
(-1) = -1
$$

Nhân các thành phần lại:
$$
5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4
$$

Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x - 1)^5$ là $-405$.

Đáp số: $-405$.