e đánh giá 5 sao ạ ( cm phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên n )

Để chứng minh rằng phân thức $\frac{3n^2 + 5n + 1}{8n^2 + 7n + 1}$ tối giản với mọi số tự nhiên \( n \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của tử số và mẫu số: - Tử số: \( 3n^2 + 5n + 1 \) - Mẫu số: \( 8n^2 + 7n + 1 \) 2. Kiểm tra tính tối giản: - Ta sẽ kiểm tra xem liệu có tồn tại một số tự nhiên \( d \) nào làm chia hết cả tử số và mẫu số hay không. 3. Phân tích cấu trúc của tử số và mẫu số: - Tử số: \( 3n^2 + 5n + 1 \) - Mẫu số: \( 8n^2 + 7n + 1 \) 4. Kiểm tra các trường hợp cụ thể: - Với \( n = 0 \): \[ \text{Tử số} = 3(0)^2 + 5(0) + 1 = 1 \] \[ \text{Mẫu số} = 8(0)^2 + 7(0) + 1 = 1 \] Phân thức: \( \frac{1}{1} \) đã tối giản. - Với \( n = 1 \): \[ \text{Tử số} = 3(1)^2 + 5(1) + 1 = 3 + 5 + 1 = 9 \] \[ \text{Mẫu số} = 8(1)^2 + 7(1) + 1 = 8 + 7 + 1 = 16 \] Phân thức: \( \frac{9}{16} \) đã tối giản. - Với \( n = 2 \): \[ \text{Tử số} = 3(2)^2 + 5(2) + 1 = 3(4) + 10 + 1 = 12 + 10 + 1 = 23 \] \[ \text{Mẫu số} = 8(2)^2 + 7(2) + 1 = 8(4) + 14 + 1 = 32 + 14 + 1 = 47 \] Phân thức: \( \frac{23}{47} \) đã tối giản. 5. Chứng minh tổng quát: - Giả sử phân thức này tối giản với mọi \( n \). Để chứng minh điều này, ta cần kiểm tra xem liệu có thể tìm được một số \( d \) nào làm chia hết cả tử số và mẫu số hay không. - Ta thấy rằng nếu \( d \) là ước chung của cả tử số và mẫu số, thì \( d \) cũng phải là ước của hiệu giữa mẫu số và bội của tử số. 6. Kiểm tra hiệu giữa mẫu số và bội của tử số: - Ta xét hiệu giữa mẫu số và bội của tử số: \[ 8n^2 + 7n + 1 - k(3n^2 + 5n + 1) \] với \( k \) là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng không có số tự nhiên \( k \) nào làm cho hiệu này bằng 0 hoặc một số chia hết cho cả tử số và mẫu số. Do đó, ta kết luận rằng phân thức \( \frac{3n^2 + 5n + 1}{8n^2 + 7n + 1} \) tối giản với mọi số tự nhiên \( n \). Đáp số: Phân thức \( \frac{3n^2 + 5n + 1}{8n^2 + 7n + 1} \) tối giản với mọi số tự nhiên \( n \).