giúp với ạ

Để biến đổi mỗi biểu thức dưới đây thành một tích, ta sẽ áp dụng các công thức biến đổi tổng thành tích trong đại số lượng giác. Biến đổi biểu thức $\sin x + \sin 2x + \sin 3x$ Ta sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Áp dụng công thức này cho $\sin x + \sin 3x$: \[ \sin x + \sin 3x = 2 \sin \left(\frac{x+3x}{2}\right) \cos \left(\frac{x-3x}{2}\right) = 2 \sin (2x) \cos (-x) = 2 \sin (2x) \cos (x) \] Bây giờ ta có: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 2 \sin (2x) \cos (x) + \sin 2x \] Nhóm chung $\sin 2x$ ra ngoài: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sin 2x (2 \cos x + 1) \] Biến đổi biểu thức $\frac{\cos x + \cos y}{\cos x - \cos y}$ Ta sử dụng công thức biến đổi tổng và hiệu của cosinus: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \] \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Áp dụng công thức này cho tử số và mẫu số: \[ \cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \] \[ \cos x - \cos y = -2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{\cos x + \cos y}{\cos x - \cos y} = \frac{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)} = -\frac{\cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)} \] Sử dụng công thức $\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$: \[ \frac{\cos x + \cos y}{\cos x - \cos y} = -\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) \cot \left(\frac{x-y}{2}\right) \] Kết luận Biểu thức $\sin x + \sin 2x + \sin 3x$ được biến đổi thành: \[ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sin 2x (2 \cos x + 1) \] Biểu thức $\frac{\cos x + \cos y}{\cos x - \cos y}$ được biến đổi thành: \[ \frac{\cos x + \cos y}{\cos x - \cos y} = -\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) \cot \left(\frac{x-y}{2}\right) \]