Giúp mình với!

a) Ta có: \[ M = x^2_1 + x^2_2 + 5x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + 5x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 + 3x_1x_2 \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2(m-1) \] \[ x_1x_2 = 3m - 3 \] Thay vào biểu thức \( M \): \[ M = [2(m-1)]^2 + 3(3m-3) = 4(m-1)^2 + 9m - 9 \] \[ M = 4(m^2 - 2m + 1) + 9m - 9 = 4m^2 - 8m + 4 + 9m - 9 \] \[ M = 4m^2 + m - 5 \] Để \( M \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( m \) làm cho \( 4m^2 + m - 5 \) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ 4m^2 + m - 5 = 4\left(m^2 + \frac{1}{4}m\right) - 5 \] \[ = 4\left(m^2 + \frac{1}{4}m + \frac{1}{64} - \frac{1}{64}\right) - 5 \] \[ = 4\left(\left(m + \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{1}{64}\right) - 5 \] \[ = 4\left(m + \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{4}{64} - 5 \] \[ = 4\left(m + \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{1}{16} - 5 \] \[ = 4\left(m + \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{81}{16} \] Biểu thức \( 4\left(m + \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{81}{16} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( \left(m + \frac{1}{8}\right)^2 = 0 \), tức là \( m = -\frac{1}{8} \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( -\frac{81}{16} \), đạt được khi \( m = -\frac{1}{8} \). b) Để phương trình \( x^2 - 2(m-1)x + 3m - 3 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1, ta cần: 1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \( \Delta > 0 \) 2. Nghiệm lớn hơn 1: \( f(1) > 0 \) và \( x_1 > 1 \) và \( x_2 > 1 \) Tính \( \Delta \): \[ \Delta = [-2(m-1)]^2 - 4(3m-3) = 4(m-1)^2 - 12m + 12 \] \[ = 4(m^2 - 2m + 1) - 12m + 12 \] \[ = 4m^2 - 8m + 4 - 12m + 12 \] \[ = 4m^2 - 20m + 16 \] Để \( \Delta > 0 \): \[ 4m^2 - 20m + 16 > 0 \] \[ m^2 - 5m + 4 > 0 \] \[ (m-1)(m-4) > 0 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ m < 1 \text{ hoặc } m > 4 \] Tiếp theo, tính \( f(1) \): \[ f(1) = 1^2 - 2(m-1) + 3m - 3 = 1 - 2m + 2 + 3m - 3 = m \] Để \( f(1) > 0 \): \[ m > 0 \] Cuối cùng, để cả hai nghiệm đều lớn hơn 1, ta cần: \[ x_1 + x_2 > 2 \text{ và } x_1x_2 > 1 \] Theo Vi-et: \[ x_1 + x_2 = 2(m-1) > 2 \Rightarrow m-1 > 1 \Rightarrow m > 2 \] \[ x_1x_2 = 3m - 3 > 1 \Rightarrow 3m > 4 \Rightarrow m > \frac{4}{3} \] Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có: \[ m > 4 \] Vậy, giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 là \( m > 4 \).