giải hệ bất phương trình

Để tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x^2-2x}+\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$, ta cần đảm bảo rằng các biểu thức dưới dấu căn đều không âm và mẫu số không bằng không. 1. Xét biểu thức $\sqrt{x^2 - 2x}$: Ta cần $x^2 - 2x \geq 0$. Giải bất phương trình này: \[ x(x - 2) \geq 0 \] Ta có các khoảng nghiệm: \[ x \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 2 \] 2. Xét biểu thức $\frac{1}{\sqrt{25 - x^2}}$: Ta cần $25 - x^2 > 0$ (vì mẫu số không được bằng 0 và phải dương). Giải bất phương trình này: \[ 25 - x^2 > 0 \implies x^2 < 25 \implies -5 < x < 5 \] 3. Kết hợp hai điều kiện trên: - Từ $x \leq 0$ hoặc $x \geq 2$ - Từ $-5 < x < 5$ Ta có tập xác định của hàm số là giao của hai tập hợp trên: \[ D = (-5; 0] \cup [2; 5) \] Vậy đáp án đúng là: A. $D = (-5; 0] \cup [2; 5)$ Đáp án: A. $D = (-5; 0] \cup [2; 5)$ Câu 44: Để giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}lx^2-4< 0\\(x-1)(x^2+5x+4)\geq0\end{array}\right.$, ta sẽ giải từng bất phương trình riêng lẻ trước, sau đó tìm giao của các tập nghiệm. 1. Giải bất phương trình $x^2 - 4 < 0$: \[ x^2 - 4 < 0 \] \[ (x - 2)(x + 2) < 0 \] Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & (-2, 2) & (2, \infty) \\ \hline x - 2 & - & - & + \\ x + 2 & - & + & + \\ (x - 2)(x + 2) & + & - & + \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy $(x - 2)(x + 2) < 0$ khi $x \in (-2, 2)$. 2. Giải bất phương trình $(x - 1)(x^2 + 5x + 4) \geq 0$: \[ x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4) \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ (x - 1)(x + 1)(x + 4) \geq 0 \] Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty, -4) & (-4, -1) & (-1, 1) & (1, \infty) \\ \hline x - 1 & - & - & - & + \\ x + 1 & - & + & + & + \\ x + 4 & - & + & + & + \\ (x - 1)(x + 1)(x + 4) & - & + & - & + \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy $(x - 1)(x + 1)(x + 4) \geq 0$ khi $x \in [-4, -1] \cup [1, \infty)$. 3. Tìm giao của các tập nghiệm: - Tập nghiệm của $x^2 - 4 < 0$ là $(-2, 2)$. - Tập nghiệm của $(x - 1)(x + 1)(x + 4) \geq 0$ là $[-4, -1] \cup [1, \infty)$. Giao của hai tập này là: \[ (-2, 2) \cap ([-4, -1] \cup [1, \infty)) = (-2, -1] \cup [1, 2) \] 4. Tìm các nghiệm nguyên trong khoảng $(-2, -1]$ và $[1, 2)$: - Trong khoảng $(-2, -1]$, ta có nghiệm nguyên là $-1$. - Trong khoảng $[1, 2)$, ta có nghiệm nguyên là $1$. Vậy hệ bất phương trình có 2 nghiệm nguyên là $-1$ và $1$. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 45: Để giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}lx^2-4x+3< 0\\-6x+12>0\end{array}\right.$, ta sẽ giải từng bất phương trình riêng lẻ trước, sau đó tìm giao của các tập nghiệm. 1. Giải bất phương trình $x^2 - 4x + 3 < 0$: Ta tìm nghiệm của phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phân tích thành nhân tử: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ và $x = 3$. Xét dấu của biểu thức $(x - 1)(x - 3)$ trên các khoảng $( -\infty, 1 )$, $( 1, 3 )$, $( 3, +\infty )$: - Khi $x < 1$: $(x - 1) < 0$ và $(x - 3) < 0$, vậy $(x - 1)(x - 3) > 0$ - Khi $1 < x < 3$: $(x - 1) > 0$ và $(x - 3) < 0$, vậy $(x - 1)(x - 3) < 0$ - Khi $x > 3$: $(x - 1) > 0$ và $(x - 3) > 0$, vậy $(x - 1)(x - 3) > 0$ Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $x^2 - 4x + 3 < 0$ là $(1, 3)$. 2. Giải bất phương trình $-6x + 12 > 0$: \[ -6x + 12 > 0 \] Chuyển 12 sang vế phải: \[ -6x > -12 \] Chia cả hai vế cho -6 (nhớ đổi dấu): \[ x < 2 \] 3. Tìm giao của các tập nghiệm: Tập nghiệm của bất phương trình thứ nhất là $(1, 3)$. Tập nghiệm của bất phương trình thứ hai là $(-\infty, 2)$. Giao của hai tập này là $(1, 2)$. Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là $(1, 2)$. Đáp án đúng là: A. $(1, 2)$. Câu 46: Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4 \). Bất phương trình đã cho là: \[ x^2 + 2x + \frac{1}{\sqrt{x+4}} > 3 + \frac{1}{\sqrt{x+4}} \] Trừ cả hai vế của bất phương trình đi \(\frac{1}{\sqrt{x+4}}\): \[ x^2 + 2x > 3 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 2x - 3 > 0 \] Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ (x + 3)(x - 1) > 0 \] Xét dấu của biểu thức \((x + 3)(x - 1)\): - Khi \( x < -3 \), cả hai thừa số \( (x + 3) \) và \( (x - 1) \) đều âm, tích của chúng là dương. - Khi \( -3 < x < 1 \), thừa số \( (x + 3) \) dương và thừa số \( (x - 1) \) âm, tích của chúng là âm. - Khi \( x > 1 \), cả hai thừa số \( (x + 3) \) và \( (x - 1) \) đều dương, tích của chúng là dương. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \((x + 3)(x - 1) > 0\) là: \[ x < -3 \text{ hoặc } x > 1 \] Lấy giao của tập nghiệm này với điều kiện xác định \( x > -4 \): \[ (-4 < x < -3) \cup (x > 1) \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ (-4, -3) \cup (1, +\infty) \] Đáp án đúng là: D. \( (-4, -3) \cup (1, +\infty) \) Câu 47: Để giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}lx^2-4x+3>0\\(x+2)(x-5)< 0\end{array}\right.$, ta sẽ giải từng bất phương trình riêng lẻ trước, sau đó tìm giao của các tập nghiệm. 1. Giải bất phương trình $x^2 - 4x + 3 > 0$: Ta tìm nghiệm của phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Biểu đồ số: \[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty, 1) & (1, 3) & (3, \infty) \\ \hline x-1 & - & + & + \\ x-3 & - & - & + \\ x^2 - 4x + 3 & + & - & + \end{array} \] Vậy tập nghiệm của $x^2 - 4x + 3 > 0$ là $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. 2. Giải bất phương trình $(x+2)(x-5) < 0$: Ta tìm nghiệm của phương trình $(x+2)(x-5) = 0$: \[ (x+2)(x-5) = 0 \implies x = -2 \text{ hoặc } x = 5 \] Biểu đồ số: \[ \begin{array}{c|ccc} & (-\infty, -2) & (-2, 5) & (5, \infty) \\ \hline x+2 & - & + & + \\ x-5 & - & - & + \\ (x+2)(x-5) & + & - & + \end{array} \] Vậy tập nghiệm của $(x+2)(x-5) < 0$ là $(-2, 5)$. 3. Tìm giao của hai tập nghiệm: \[ (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \cap (-2, 5) = (-2, 1) \cup (3, 5) \] Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là $(-2, 1) \cup (3, 5)$. Đáp án đúng là: C. $(-2, 1) \cup (3, 5)$. Câu 48: Để giải hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}l(x+5)(6-x)>0\\2x+1< 3\end{array}\right.$, ta sẽ giải từng bất phương trình riêng lẻ trước, sau đó tìm giao của các tập nghiệm. 1. Giải bất phương trình $(x + 5)(6 - x) > 0$: - Ta tìm các điểm làm nhân tử bằng 0: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ và $6 - x = 0 \Rightarrow x = 6$. - Xét dấu của biểu thức $(x + 5)(6 - x)$ trên các khoảng được xác định bởi các điểm $x = -5$ và $x = 6$: - Khi $x < -5$, cả hai nhân tử đều âm, tích là số dương. - Khi $-5 < x < 6$, nhân tử $(x + 5)$ dương và nhân tử $(6 - x)$ dương, tích là số dương. - Khi $x > 6$, nhân tử $(x + 5)$ dương và nhân tử $(6 - x)$ âm, tích là số âm. - Vậy tập nghiệm của bất phương trình $(x + 5)(6 - x) > 0$ là $(-5, 6)$. 2. Giải bất phương trình $2x + 1 < 3$: - Ta chuyển 1 sang phía bên phải: $2x < 3 - 1 \Rightarrow 2x < 2$. - Chia cả hai vế cho 2: $x < 1$. - Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x + 1 < 3$ là $(-\infty, 1)$. 3. Tìm giao của các tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình $(x + 5)(6 - x) > 0$ là $(-5, 6)$. - Tập nghiệm của bất phương trình $2x + 1 < 3$ là $(-\infty, 1)$. - Giao của hai tập này là $(-5, 1)$. Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là $(-5, 1)$.