44444554444444444

Câu 21: Để tìm tâm của đường tròn $(C):~x^2+y^2+4x+6y-12=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ lại: \[ x^2 + 4x + y^2 + 6y - 12 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương cho các nhóm $x$ và $y$: - Với nhóm $x$: \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] - Với nhóm $y$: \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x + 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 12 = 0 \] \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 - 25 = 0 \] \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] 4. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ có dạng chuẩn của đường tròn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, trong đó tâm của đường tròn là $(a, b)$ và bán kính là $R$. So sánh với phương trình chuẩn, ta thấy: \[ a = -2, \quad b = -3, \quad R = 5 \] Vậy tâm của đường tròn $(C)$ là $I(-2, -3)$. Đáp án đúng là: A. $I(-2, -3)$. Câu 22. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình $(x-5)^2 + (y+2)^2 = 36$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn có tâm tại điểm $(a, b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình đã cho là: \[ (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 36 \] Ta thấy rằng đây là dạng chuẩn của phương trình đường tròn, trong đó: - Tâm của đường tròn là $(a, b) = (5, -2)$ - Bán kính của đường tròn là $R = \sqrt{36} = 6$ 3. Kết luận: Từ các bước trên, ta xác định được tâm và bán kính của đường tròn là: - Tâm: $I(5, -2)$ - Bán kính: $R = 6$ Do đó, đáp án đúng là: A. $I(5, -2), R = 6$ Đáp án: A. $I(5, -2), R = 6$ Câu 23. Phương trình đường tròn có tâm \( I(a, b) \) và bán kính \( R \) có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm \( I(2, 3) \) và bán kính \( R = 5 \). Do đó, ta thay \( a = 2 \), \( b = 3 \), và \( R = 5 \) vào phương trình trên: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \] Vậy phương trình đường tròn (C) là: \[ (C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \] Đáp án đúng là: A. \( (C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \) Câu 24. Để tìm tọa độ tâm của đường tròn $(C):~x^2+y^2-8x+2y+1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương: Ta cần biến đổi phương trình $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$ về dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. 2. Hoàn thành bình phương: - Với phần $x$: \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] - Với phần $y$: \[ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 + 1 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 - 16 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 16 \] 4. Nhận diện tâm và bán kính: Phương trình $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 16$ có dạng chuẩn của đường tròn với tâm $(a, b)$ và bán kính $r$. Từ đây, ta thấy tâm của đường tròn là $(4, -1)$. Vậy tọa độ tâm của đường tròn $(C)$ là $(4, -1)$. Đáp án đúng là: A. $(4, -1)$. Câu 25. Để xác định biểu thức nào là tam thức bậc hai, chúng ta cần kiểm tra từng biểu thức theo định nghĩa của tam thức bậc hai. Một tam thức bậc hai có dạng tổng của ba hạng tử, trong đó có một hạng tử bậc hai (cố định với biến \( x \) lũy thừa bình phương), một hạng tử bậc nhất (cố định với biến \( x \)), và một hạng tử hằng số. A. \( f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 1 \) - Biểu thức này có hạng tử bậc ba (\( -2x^3 \)), do đó không phải là tam thức bậc hai. B. \( f(x) = 2x - 3 \) - Biểu thức này chỉ có hạng tử bậc nhất (\( 2x \)) và hạng tử hằng số (\( -3 \)), do đó không phải là tam thức bậc hai. C. \( f(x) = x^2 - \frac{2}{x} + 4 \) - Biểu thức này có hạng tử bậc hai (\( x^2 \)), nhưng cũng có một hạng tử phân thức (\( -\frac{2}{x} \)), do đó không phải là tam thức bậc hai. D. \( f(x) = 3x^2 + x - 1 \) - Biểu thức này có hạng tử bậc hai (\( 3x^2 \)), hạng tử bậc nhất (\( x \)), và hạng tử hằng số (\( -1 \)). Do đó, đây là tam thức bậc hai. Kết luận: Biểu thức \( f(x) = 3x^2 + x - 1 \) là tam thức bậc hai. Câu 26. Để biểu thức $f(x) = (m-1)x^2 + 4x - 5$ là tam thức bậc hai, hệ số của $x^2$ phải khác 0. Do đó, ta có: \[ m - 1 \neq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ m \neq 1 \] Vậy, giá trị của m để biểu thức đó là tam thức bậc hai là: \[ m \neq 1 \] Đáp án đúng là: D. $m \neq 1$. Câu 27. Ta xét tam thức bậc hai $f(x) = -2x^2 + 8x - 8$. Để xác định dấu của tam thức này, ta cần tìm các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ và kiểm tra dấu của hệ số $a$ (hệ số của $x^2$). 1. Tìm nghiệm của phương trình $f(x) = 0$: \[ -2x^2 + 8x - 8 = 0 \] Chia cả hai vế cho -2: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \] \[ x = 2 \] Phương trình có nghiệm kép $x = 2$. 2. Kiểm tra dấu của hệ số $a$: Hệ số $a = -2$, do đó $a < 0$. 3. Xác định dấu của tam thức: - Vì $a < 0$, tam thức $f(x)$ sẽ mở rộng xuống dưới trục hoành. - Tam thức có nghiệm kép tại $x = 2$, tức là $f(2) = 0$. Do đó, tam thức $f(x)$ sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$. Cụ thể: - Khi $x = 2$, $f(x) = 0$. - Khi $x \neq 2$, $f(x) < 0$. Vậy mệnh đề đúng là: C. $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Câu 28. Để xác định khoảng giá trị của \(x\) sao cho \(f(x) > 0\), chúng ta cần xem xét đồ thị của hàm số \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Từ đồ thị, ta thấy rằng: - Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm \(x_1\) và \(x_2\). - Đồ thị mở rộng lên trên (do \(a > 0\)). Khi đó, hàm số \(f(x)\) sẽ dương ở các khoảng giữa các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Cụ thể: - \(f(x) > 0\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2\). Do đó, ta có: \[ f(x) > 0 \text{ khi } x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \] Vậy, đáp án cuối cùng là: \[ f(x) > 0 \text{ khi } x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \]