666666sgsgshvhv

Câu 39. Để hai vectơ $\overrightarrow u=(u_1;u_2)$ và $\overrightarrow v=(v_1;v_2)$ bằng nhau, ta cần điều kiện gì? Hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ sẽ bằng nhau nếu và chỉ nếu các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1 = v_1 \\ u_2 = v_2 \end{array} \right. \] Nhìn vào các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là: D. $\left\{ \begin{array}{l} u_1 = v_1 \\ u_2 = v_2 \end{array} \right.$ Vậy đáp án đúng là D. Câu 40. Để tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB, ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Trong đó: - \( A(2, 3) \) có \( x_1 = 2 \) và \( y_1 = 3 \) - \( B(-4, 1) \) có \( x_2 = -4 \) và \( y_2 = 1 \) Áp dụng công thức trên: \[ M\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) \] Tính từng thành phần: \[ M\left(\frac{2 - 4}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = M\left(\frac{-2}{2}, \frac{4}{2}\right) = M(-1, 2) \] Vậy tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là \((-1, 2)\). Do đó, đáp án đúng là B. \((-1, 2)\). Câu 41. Để tính $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$, ta sử dụng công thức nhân vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \] Trong đó: - $\overrightarrow{a} = (1; 2)$, suy ra $a_x = 1$, $a_y = 2$ - $\overrightarrow{b} = (3; 4)$, suy ra $b_x = 3$, $b_y = 4$ Thay vào công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 \] Tính toán từng phần: \[ 1 \cdot 3 = 3 \] \[ 2 \cdot 4 = 8 \] Cộng lại: \[ 3 + 8 = 11 \] Vậy $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 11$. Đáp án đúng là: A. 11 Câu 42. Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;4)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(2;3)$ làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a, b)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Trong bài này, điểm $A(1;4)$ có tọa độ $(x_0, y_0) = (1, 4)$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (2, 3)$ có thành phần $(a, b) = (2, 3)$. Thay vào công thức, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 4 + 3t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình đường thẳng $\Delta$ là: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 4 + 3t \quad (t \in \mathbb{R}) \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: A. $\Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 4 + 3t \quad (t \in \mathbb{R}) \end{array} \right.$ Câu 43. Để xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: 5x - 3y - 7 = 0\), ta cần dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng \(Ax + By + C = 0\). Trong phương trình này, vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \(\overrightarrow{n} = (A, B)\). Trong phương trình \(5x - 3y - 7 = 0\), ta có: - \(A = 5\) - \(B = -3\) Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{n} = (5, -3)\). Vậy đáp án đúng là: A. \(\overrightarrow{n} = (5, -3)\) Câu 44. Phương trình đường tròn (C) có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$ là: B. $(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ Lập luận từng bước: - Phương trình đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$ được viết dưới dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Đây là công thức chuẩn của phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. - Các lựa chọn khác không đúng vì: - A. $(C): (x + a)^2 + (y + b)^2 = R^2$: Sai vì dấu trừ trước $a$ và $b$ đã bị thay bằng dấu cộng. - C. $(C): (x + a)^2 + (y + b)^2 = R$: Sai vì dấu trừ trước $a$ và $b$ đã bị thay bằng dấu cộng và $R^2$ đã bị thay bằng $R$. - D. $(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R$: Sai vì $R^2$ đã bị thay bằng $R$. Vậy phương trình đúng là B. $(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Câu 45. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình $(x-4)^2 + (y+2)^2 = 25$, ta thực hiện các bước sau: 1. Phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn có tâm tại điểm $(a, b)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình đã cho là: \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 25 \] Ta thấy rằng đây là dạng chuẩn của phương trình đường tròn, trong đó: - Tâm của đường tròn là $(a, b) = (4, -2)$ - Bán kính của đường tròn là $R = \sqrt{25} = 5$ 3. Kết luận: Từ các bước trên, ta xác định được tâm và bán kính của đường tròn là: - Tâm: $I(4, -2)$ - Bán kính: $R = 5$ Do đó, đáp án đúng là: C. $I(4, -2), R = 5$ Câu 46. Phương trình đường tròn có tâm \( I(a, b) \) và bán kính \( R \) có dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm \( I(2, 3) \) và bán kính \( R = 4 \). Do đó, ta thay \( a = 2 \), \( b = 3 \), và \( R = 4 \) vào phương trình trên: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \] Vậy phương trình đường tròn (C) là: \[ (C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \] Đáp án đúng là: D. \( (C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \) Câu 47. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm \( I(a; b) \) tại điểm \( M(x_0; y_0) \) nằm trên đường tròn, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường tròn: Đường tròn tâm \( I(a; b) \) có phương trình: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] Trong đó \( R \) là bán kính của đường tròn. 2. Tìm vectơ pháp tuyến: Vectơ pháp tuyến của đường tròn tại điểm \( M(x_0; y_0) \) là vectơ từ tâm \( I \) đến điểm \( M \). Do đó, vectơ pháp tuyến là: \[ \vec{n} = (x_0 - a, y_0 - b) \] 3. Lập phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( M(x_0; y_0) \) có dạng: \[ (x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0 \] 4. So sánh với các phương án đã cho: Ta thấy phương trình này tương ứng với phương án B: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Do đó, phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm \( I(a; b) \) tại điểm \( M(x_0; y_0) \) nằm trên đường tròn là: \[ \boxed{a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0} \]