2009^[3^(2008 n+2013)] + 2010^[2^(2012n+2009)] chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n lẻ

Để chứng minh rằng $$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên $$ lẻ, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các giá trị modulo 11 của 2009 và 2010. - $$ - $$ Bước 2: Xác định các giá trị modulo 11 của các lũy thừa của 7 và 8. - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ Từ đây, ta thấy chu kỳ của $$ là 10. - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ Từ đây, ta thấy chu kỳ của $$ cũng là 10. Bước 3: Xác định các giá trị của $$ và $$ modulo 10. - $$ - $$ - $$ - $$ Từ đây, ta thấy chu kỳ của $$ là 4. - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ Từ đây, ta thấy chu kỳ của $$ là 4. Bước 4: Xác định các giá trị của $$ và $$ modulo 4. - $$ - $$ Bước 5: Kết hợp các kết quả trên. - $$ - $$ Do đó: - $$ - $$ Cuối cùng: $$ Vậy $$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên $$ lẻ.