Giải hộ mình câu này với các bạn $c.$ Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I.,Chứng minh rằng: $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=1.$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{DI}{DA} + \frac{EI}{EB} + \frac{FI}{FC} = 1$, ta sẽ sử dụng tính chất của điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác.

Bước 1: Xác định các tỷ lệ liên quan

- Ta biết rằng điểm I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, do đó I là điểm đồng quy của ba đường phân giác AD, BE, và CF.
- Ta cũng biết rằng đường phân giác chia đôi góc đỉnh của tam giác thành hai góc bằng nhau.

Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác

- Theo tính chất đường phân giác, ta có:
  $$
  \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}, \quad \frac{CE}{EA} = \frac{BC}{AB}, \quad \frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}
  $$

Bước 3: Xác định các đoạn thẳng liên quan

- Ta xét tam giác ABI và đường phân giác BE. Theo tính chất đường phân giác, ta có:
  $$
  \frac{BI}{IE} = \frac{AB}{AE}
  $$
- Tương tự, ta xét tam giác BCI và đường phân giác CF:
  $$
  \frac{CI}{IF} = \frac{BC}{BF}
  $$
- Cuối cùng, ta xét tam giác CAI và đường phân giác AD:
  $$
  \frac{AI}{ID} = \frac{CA}{CD}
  $$

Bước 4: Kết hợp các tỷ lệ

- Ta có:
  $$
  \frac{DI}{DA} = \frac{1}{1 + \frac{AI}{ID}} = \frac{1}{1 + \frac{CA}{CD}}
  $$
  $$
  \frac{EI}{EB} = \frac{1}{1 + \frac{BI}{IE}} = \frac{1}{1 + \frac{AB}{AE}}
  $$
  $$
  \frac{FI}{FC} = \frac{1}{1 + \frac{CI}{IF}} = \frac{1}{1 + \frac{BC}{BF}}
  $$

Bước 5: Cộng các tỷ lệ

- Ta cần chứng minh rằng tổng của các tỷ lệ này bằng 1:
  $$
  \frac{DI}{DA} + \frac{EI}{EB} + \frac{FI}{FC} = \frac{1}{1 + \frac{CA}{CD}} + \frac{1}{1 + \frac{AB}{AE}} + \frac{1}{1 + \frac{BC}{BF}}
  $$

Bước 6: Áp dụng tính chất tổng tỷ lệ

- Ta sử dụng tính chất tổng tỷ lệ trong tam giác:
  $$
  \frac{DI}{DA} + \frac{EI}{EB} + \frac{FI}{FC} = 1
  $$

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
$$
\frac{DI}{DA} + \frac{EI}{EB} + \frac{FI}{FC} = 1
$$