Trong không gian Oxyz , gọi (A) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng sau đây: 4x − y − 2z − 3 = 0 , 4x − y − 2z − 5 = 0 . Tìm mặt phẳng (A).

Question

Accepted Answer

Để tìm mặt phẳng (A) cách đều hai mặt phẳng $4x - y - 2z - 3 = 0$ và $4x - y - 2z - 5 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho:
   Hai mặt phẳng $4x - y - 2z - 3 = 0$ và $4x - y - 2z - 5 = 0$ có cùng phương pháp pháp tuyến $\vec{n} = (4, -1, -2)$. Khoảng cách giữa chúng là:
   $$
   d = \frac{|-5 - (-3)|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-5 + 3|}{\sqrt{16 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{21}}
   $$

2. Tìm phương trình của mặt phẳng (A):
   Mặt phẳng (A) cách đều hai mặt phẳng đã cho, do đó nó sẽ nằm chính giữa khoảng cách giữa chúng. Phương trình của mặt phẳng (A) sẽ có dạng:
   $$
   4x - y - 2z + D = 0
   $$
   Ta cần tìm giá trị của $D$.

3. Xác định giá trị của $D$:
   Vì mặt phẳng (A) cách đều hai mặt phẳng đã cho, khoảng cách từ điểm bất kỳ trên mặt phẳng (A) đến mỗi mặt phẳng đã cho sẽ bằng nhau. Chọn điểm $O(0, 0, 0)$ để tính khoảng cách:
   $$
   d_1 = \frac{|4(0) - 1(0) - 2(0) - 3|}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}}
   $$
   $$
   d_2 = \frac{|4(0) - 1(0) - 2(0) - 5|}{\sqrt{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}}
   $$
   Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là $\frac{2}{\sqrt{21}}$, do đó khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng (A) là:
   $$
   d_A = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{\frac{3}{\sqrt{21}} + \frac{5}{\sqrt{21}}}{2} = \frac{8}{2\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}}
   $$
   Mặt phẳng (A) sẽ có khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ là $\frac{4}{\sqrt{21}}$:
   $$
   \frac{|D|}{\sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}} \implies |D| = 4
   $$
   Do đó, $D = 4$ hoặc $D = -4$.

4. Lựa chọn giá trị của $D$:
   Để mặt phẳng (A) cách đều hai mặt phẳng đã cho, ta chọn $D = -4$ (vì $D = 4$ sẽ làm cho mặt phẳng (A) trùng với một trong hai mặt phẳng đã cho).

Vậy phương trình của mặt phẳng (A) là:
$$
4x - y - 2z - 4 = 0
$$