dgghhhhffgghhh

Câu 1. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Giới hạn dưới là $x = 1$. - Giới hạn trên là $x = 2$. 2. Tính diện tích bằng cách tích phân hàm số từ $x = 1$ đến $x = 2$: \[ S = \int_{1}^{2} |x^2 - 4x + 3| \, dx \] 3. Xác định dấu của hàm số trong khoảng $[1, 2]$: - Ta thấy rằng $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. - Trong khoảng $[1, 2]$, $(x-1)$ dương và $(x-3)$ âm, do đó $x^2 - 4x + 3$ âm. 4. Vì hàm số âm trong khoảng này, ta sẽ tính tích phân của $-(x^2 - 4x + 3)$: \[ S = \int_{1}^{2} -(x^2 - 4x + 3) \, dx \] \[ S = \int_{1}^{2} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] 5. Thực hiện tích phân: \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{2} \] 6. Thay các giá trị vào: \[ S = \left( -\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) \] \[ S = \left( -\frac{8}{3} + 8 - 6 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \] \[ S = \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \] \[ S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) \] \[ S = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right) \] \[ S = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} \] \[ S = \frac{2}{3} \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 3$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$ là $\frac{2}{3}$. Đáp án đúng là: C. $\frac{2}{3}$ Câu 2. Theo định lý cơ bản của Calculus, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên tập $\mathbb{R}$, thì ta có: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Do đó, mệnh đề đúng là: A. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ Đáp án: A. Câu 3. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = -1 \) và \( x = 2 \), ta chia hình phẳng thành hai phần: 1. Phần từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) 2. Phần từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \) Diện tích của mỗi phần sẽ được tính bằng tích phân của hàm số \( f(x) \) trên khoảng tương ứng. - Diện tích phần từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \): \[ A_1 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| \] - Diện tích phần từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \): \[ A_2 = \left| \int_{1}^{2} f(x) \, dx \right| \] Tổng diện tích S sẽ là: \[ S = A_1 + A_2 \] Do đó: \[ S = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| + \left| \int_{1}^{2} f(x) \, dx \right| \] Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án B đúng vì: \[ S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx \] Đáp án đúng là: B. \( S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx \). Câu 4. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{9} [2f(x) + 3g(x)] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Tính tích phân của mỗi thành phần riêng lẻ. \[ \int_{0}^{9} 2f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{9} f(x) \, dx \] \[ \int_{0}^{9} 3g(x) \, dx = 3 \int_{0}^{9} g(x) \, dx \] Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào. \[ \int_{0}^{9} f(x) \, dx = 37 \] \[ \int_{0}^{9} g(x) \, dx = -16 \quad (\text{vì } \int_{0}^{9} g(x) \, dx = -\int_{9}^{0} g(x) \, dx) \] Bước 3: Tính các tích phân riêng lẻ. \[ 2 \int_{0}^{9} f(x) \, dx = 2 \times 37 = 74 \] \[ 3 \int_{0}^{9} g(x) \, dx = 3 \times (-16) = -48 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại để tìm \( I \). \[ I = \int_{0}^{9} [2f(x) + 3g(x)] \, dx = 74 + (-48) = 26 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( I = 26 \). Câu 5. Để tìm các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^2 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong tổng. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_2 \] Bước 3: Cộng các kết quả trên lại: \[ \int (x^4 + x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy, các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^4 + x^2 \) là: \[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. $\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp án: A. $\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + C$ Câu 6. Để tính $\int^2_0[2f(x)-1]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các phép toán liên quan. Bước 1: Ta viết lại tích phân theo tính chất phân phối: \[ \int^2_0[2f(x)-1]dx = \int^2_0 2f(x) dx - \int^2_0 1 dx \] Bước 2: Tính từng phần riêng lẻ: - Đầu tiên, ta tính $\int^2_0 2f(x) dx$. Theo tính chất tích phân, ta có: \[ \int^2_0 2f(x) dx = 2 \int^2_0 f(x) dx \] Biết rằng $\int^2_0 f(x) dx = 5$, nên: \[ 2 \int^2_0 f(x) dx = 2 \times 5 = 10 \] - Tiếp theo, ta tính $\int^2_0 1 dx$. Đây là tích phân của hằng số 1 từ 0 đến 2: \[ \int^2_0 1 dx = [x]^2_0 = 2 - 0 = 2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên: \[ \int^2_0[2f(x)-1]dx = 10 - 2 = 8 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{8} \] Câu 7. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) xung quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong bài này, hàm số \( f(x) = e^x \), và khoảng tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (e^x)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx \] Bây giờ, ta tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx \] Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \( u = 2x \), thì \( du = 2 \, dx \) hay \( dx = \frac{1}{2} \, du \). Khi \( x = 0 \), ta có \( u = 0 \); khi \( x = 1 \), ta có \( u = 2 \). Do đó: \[ \int_{0}^{1} e^{2x} \, dx = \int_{0}^{2} e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^u \, du \] Tích phân của \( e^u \) là \( e^u \): \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( e^2 - e^0 \right) = \frac{1}{2} (e^2 - 1) \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = \pi \cdot \frac{1}{2} (e^2 - 1) = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1) \] Đáp án đúng là: B. $\frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$ Câu 8. Muốn tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x \), ta cần tìm tất cả các hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của chúng bằng \( f(x) \). Ta biết rằng đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). Do đó, nếu \( F(x) = \sin x + C \), thì đạo hàm của \( F(x) \) sẽ là: \[ F'(x) = (\sin x + C)' = \cos x \] Như vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos x \) là: \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \] Vậy đáp án đúng là: A. \( \sin x + C \) Đáp án: A. \( \sin x + C \) Câu 9. Để tìm hàm số \( F(x) \) biết rằng \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sqrt{x} \) và \( F(1) = 1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt{x} \). Ta có: \[ f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \] Nguyên hàm của \( x^{\frac{1}{2}} \) là: \[ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C \] Vậy: \[ F(x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(1) = 1 \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} + C = \frac{2}{3} + C \] Theo điều kiện \( F(1) = 1 \): \[ \frac{2}{3} + C = 1 \] \[ C = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Viết lại hàm số \( F(x) \) với giá trị của \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{1}{3} \] Vậy hàm số \( F(x) \) là: \[ F(x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{1}{3} \] Đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{1}{3} \)