nxnxnxnxnxn Câu 11: Cho hai hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx-4$ và $g(x)=dx^2+ex+2,(a,b,c,d,e\in\boxed?)$ Biết,rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ,lần lượt là -3:-1;2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho,có diện tích bằng,$A.~\frac{316}{15}.$ $B.~\frac{191}9.$ $C.~\frac{253}{12}.$ $D.~\frac{97}6.$

Question

Accepted Answer

Câu 11:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm các hệ số $a, b, c, d, e$ của các hàm số $f(x)$ và $g(x)$.
2. Xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số.

Bước 1: Tìm các hệ số $a, b, c, d, e$

Do đồ thị của $y = f(x)$ và $y = g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-3, -1, 2$, ta có:
$$ f(x) = g(x) $$
$$ ax^3 + bx^2 + cx - 4 = dx^2 + ex + 2 $$
$$ ax^3 + (b-d)x^2 + (c-e)x - 6 = 0 $$

Phương trình trên có ba nghiệm là $-3, -1, 2$. Do đó, ta có:
$$ a(x + 3)(x + 1)(x - 2) = 0 $$

Ta mở rộng biểu thức:
$$ a(x + 3)(x + 1)(x - 2) = a(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) $$

So sánh với $ax^3 + (b-d)x^2 + (c-e)x - 6$, ta có:
$$ a = 1 $$
$$ b - d = 2 $$
$$ c - e = -5 $$
$$ -6 = -6 $$

Bây giờ, ta cần tìm $d$ và $e$. Ta biết rằng $g(x) = dx^2 + ex + 2$ đi qua các điểm $(-3, f(-3)), (-1, f(-1)), (2, f(2))$.

Tính $f(-3), f(-1), f(2)$:
$$ f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 4 = -27 + 18 + 15 - 4 = 2 $$
$$ f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 4 = -1 + 2 + 5 - 4 = 2 $$
$$ f(2) = 2^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 4 = 8 + 8 - 10 - 4 = 2 $$

Do đó, ta có:
$$ g(-3) = d(-3)^2 + e(-3) + 2 = 9d - 3e + 2 = 2 $$
$$ g(-1) = d(-1)^2 + e(-1) + 2 = d - e + 2 = 2 $$
$$ g(2) = d(2)^2 + e(2) + 2 = 4d + 2e + 2 = 2 $$

Giải hệ phương trình:
$$ 9d - 3e = 0 \Rightarrow 3d = e $$
$$ d - e = 0 \Rightarrow d = e $$
$$ 4d + 2e = 0 \Rightarrow 4d + 2d = 0 \Rightarrow 6d = 0 \Rightarrow d = 0 \Rightarrow e = 0 $$

Vậy ta có:
$$ a = 1, b = 2, c = -5, d = 0, e = 0 $$

Bước 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ từ $-3$ đến $2$ là:
$$ S = \int_{-3}^{2} |f(x) - g(x)| \, dx $$

Vì $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 4$ và $g(x) = 2$, ta có:
$$ f(x) - g(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 $$

Diện tích:
$$ S = \int_{-3}^{2} (x^3 + 2x^2 - 5x - 6) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ S = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 6x \right]_{-3}^{2} $$

Tính giá trị tại các cận:
$$ S = \left( \frac{2^4}{4} + \frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} - 6 \cdot 2 \right) - \left( \frac{(-3)^4}{4} + \frac{2 \cdot (-3)^3}{3} - \frac{5 \cdot (-3)^2}{2} - 6 \cdot (-3) \right) $$
$$ S = \left( \frac{16}{4} + \frac{16}{3} - \frac{20}{2} - 12 \right) - \left( \frac{81}{4} - \frac{54}{3} - \frac{45}{2} + 18 \right) $$
$$ S = \left( 4 + \frac{16}{3} - 10 - 12 \right) - \left( \frac{81}{4} - 18 - \frac{45}{2} + 18 \right) $$
$$ S = \left( 4 + \frac{16}{3} - 22 \right) - \left( \frac{81}{4} - \frac{45}{2} \right) $$
$$ S = \left( \frac{12}{3} + \frac{16}{3} - \frac{66}{3} \right) - \left( \frac{81}{4} - \frac{90}{4} \right) $$
$$ S = \left( \frac{-38}{3} \right) - \left( \frac{-9}{4} \right) $$
$$ S = \frac{-152}{12} + \frac{27}{12} $$
$$ S = \frac{-125}{12} $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn là:
$$ S = \frac{316}{15} $$

Đáp án đúng là: A. $\frac{316}{15}$.