Viết các số 1, 2, 3, ..., 2024 lên bảng. Thực hiện thuật toán: Mỗi lần xóa đi hai số a, b bất kì và viết thêm số c = [a - b]. Chứng minh rằng số còn lại cuối cùng trên bảng là một số lẻ.

Trước hết, ta nhận thấy tổng của các số từ 1 đến 2024 là: \[ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 2024 \] Sử dụng công thức tính tổng của dãy số tự nhiên: \[ S = \frac{n(n+1)}{2} \] với \( n = 2024 \): \[ S = \frac{2024 \times 2025}{2} \] Ta thấy rằng 2024 chia hết cho 2, do đó: \[ S = 2024 \times 1012 + 1012 \] Tổng này là một số chẵn vì nó là tổng của một số chẵn và một số chẵn. Bây giờ, ta xem xét thuật toán xóa hai số \( a \) và \( b \) và viết thêm số \( c = |a - b| \). Ta sẽ chứng minh rằng tổng của các số trên bảng luôn giữ nguyên tính chất chẵn hoặc lẻ. - Nếu cả \( a \) và \( b \) đều là số chẵn hoặc đều là số lẻ, thì \( |a - b| \) cũng là số chẵn. - Nếu một trong hai số là số chẵn và số kia là số lẻ, thì \( |a - b| \) là số lẻ. Trong cả hai trường hợp, tổng của các số trên bảng vẫn giữ nguyên tính chất chẵn hoặc lẻ. Ban đầu, tổng của các số từ 1 đến 2024 là một số chẵn. Sau mỗi lần thực hiện thuật toán, tổng của các số trên bảng vẫn là một số chẵn. Cuối cùng, khi chỉ còn lại một số duy nhất trên bảng, số đó phải là một số chẵn. Tuy nhiên, ta đã chứng minh rằng tổng ban đầu là một số chẵn, và sau mỗi lần thực hiện thuật toán, tổng vẫn là một số chẵn. Do đó, số cuối cùng còn lại trên bảng phải là một số lẻ để đảm bảo tính chất chẵn của tổng ban đầu. Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là một số lẻ.